ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2015-03-20   
Даны две концентрические окружности радиусов $r$ и $R$. Каково наибольшее число окружностей, одновременно касающихся двух данных окружностей и не пересекающих друг друга? Покажите, что это число заключено между
$\frac{3}{2} \frac{\sqrt{R} + \sqrt{r}}{ \sqrt{R} – \sqrt{r}} - 1$ и $\frac{63}{20} \frac{R+r}{R-r}$.


Решение:



Рассмотрим два круга, касающиеся данных концентрических кругов и друг друга. Диаметр $d$ каждого из таких кругов равен $R-r$. Пусть наибольшее число кругов, вкладываемых в кольцо, равно $n$.
Нетрудно видеть, что $n = \left [ \frac{\pi}{\phi} \right ]$, где $\phi = \hat{O_{1}OK}$ (рис.), причем $[x]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
Из $\triangle OO_{1}K$
$\frac{R-r}{2} = \frac{R+r}{2} \sin \phi$, (*)
Откуда $\phi = arcsin \frac{R-r}{R+r}$. Так что
$n = \left [ \frac{\pi}{arcsin \frac{R-r}{R+r}} \right ]$.
Из (*) получим $\frac{R-r}{R+r} = \sin \phi$, откуда
$\frac{R}{r} = \frac{1 + \sin \phi}{1-\sin \phi} = tg^{2} \left ( \frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} \right )$,
или
$tg \left ( \frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} \right ) = \sqrt{ \frac{R}{r}}$.
Отсюда
$tg \frac{\phi}{2} = \frac{\sqrt{R} - \sqrt{r}}{\sqrt{R} + \sqrt{r}}$.
Решение задачи получим, рассмотрев двойное неравенство $\sin x < x < tg x$. Из этого следует, что
$\frac{R-r}{R+r} < \phi$ и $\frac{\phi}{2} < \frac{\sqrt{R} - \sqrt{r}}{\sqrt{R} + \sqrt{r}}$.
Отсюда
$n \leq \pi \cdot \frac{R+r}{R-r}$ и $n+1 > \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{R} + \sqrt{r}}{\sqrt{R} - \sqrt{r}}$,
или
$n < 3,15 \cdot \frac{R+r}{R-r} = \frac{63}{20} \cdot \frac{R+r}{R-r}$ и $n+1 > \frac{\sqrt{R} + \sqrt{r}}{\sqrt{R} - \sqrt{r}} \cdot \frac{3}{2}$.