Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 11256
2023-02-21 
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 и острым углом $15^{\circ}$. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом $45^{\circ}$. Найдите объём пирамиды.
Решение:
Пусть угол при вершине $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $90^{\circ}$, а угол при вершине $A$ равен $15^{\circ}$. Поскольку боковые рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ пирамиды $ABCD$ образуют равные углы с плоскостью основания, высота $DO$ пирамиды проходит через центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника $ABC$, т.е. через середину $O$ гипотенузы $AB$. Тогда $DAO$ - угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды.
По условию задачи $\angle DAO=45^{\circ}$. Из прямоугольного треугольника $AOD$ находим, что
$DO=OA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot6=3.$
Пусть $CK$ - высота прямоугольного треугольника $ABC$. $KOC$ - внешний угол равнобедренного треугольника $AOC$, поэтому
$\angle KOC=2\angle OAC=2\cdot15^{\circ}=30^{\circ}.$
Из прямоугольного треугольника $KOC$ находим, что
$CK=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot6=\frac{3}{2}.$
Следовательно,
$V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot CK\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot\frac{3}{2}\cdot3=\frac{9}{2}.$
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 и острым углом $15^{\circ}$. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом $45^{\circ}$. Найдите объём пирамиды.
Решение:
Пусть угол при вершине $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $90^{\circ}$, а угол при вершине $A$ равен $15^{\circ}$. Поскольку боковые рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ пирамиды $ABCD$ образуют равные углы с плоскостью основания, высота $DO$ пирамиды проходит через центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника $ABC$, т.е. через середину $O$ гипотенузы $AB$. Тогда $DAO$ - угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды.
По условию задачи $\angle DAO=45^{\circ}$. Из прямоугольного треугольника $AOD$ находим, что
$DO=OA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot6=3.$
Пусть $CK$ - высота прямоугольного треугольника $ABC$. $KOC$ - внешний угол равнобедренного треугольника $AOC$, поэтому
$\angle KOC=2\angle OAC=2\cdot15^{\circ}=30^{\circ}.$
Из прямоугольного треугольника $KOC$ находим, что
$CK=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot6=\frac{3}{2}.$
Следовательно,
$V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot CK\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot\frac{3}{2}\cdot3=\frac{9}{2}.$
