Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1125
2015-03-20 
Докажите, что четыре перпендикуляра, опущенные из середин сторон вписанного четырехугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $MNPQ$ (рис.)— середины сторон данного вписанного четырехугольника и пусть $S$ — точка пересечения прямых $MP$ и $NQ$. Четырехугольник $MNPQ$ — параллелограмм и $S$ его центр, поэтому точки $M$ и $P$, $N$ и $Q$ соответственно симметричны относительно $S$. Перпендикуляры, проведенные через точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ к соответствующим сторонам, пересекаются в одной точке $T$ — центре описанной окружности.
Перпендикуляры, проведенные через $M$, $N$, $P$ и $Q$ к противоположным сторонам, параллельны перпендикулярам, проведенным к соответствующим сторонам через точки $M$, $N$, $P$ и $Q$, поэтому они также пересекаются в одной точке $T^{\prime}$, симметричной $T$ относительно $S$.
Докажите, что четыре перпендикуляра, опущенные из середин сторон вписанного четырехугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $MNPQ$ (рис.)— середины сторон данного вписанного четырехугольника и пусть $S$ — точка пересечения прямых $MP$ и $NQ$. Четырехугольник $MNPQ$ — параллелограмм и $S$ его центр, поэтому точки $M$ и $P$, $N$ и $Q$ соответственно симметричны относительно $S$. Перпендикуляры, проведенные через точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ к соответствующим сторонам, пересекаются в одной точке $T$ — центре описанной окружности.
Перпендикуляры, проведенные через $M$, $N$, $P$ и $Q$ к противоположным сторонам, параллельны перпендикулярам, проведенным к соответствующим сторонам через точки $M$, $N$, $P$ и $Q$, поэтому они также пересекаются в одной точке $T^{\prime}$, симметричной $T$ относительно $S$.
