Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1124
2015-03-20 
В окружность вписан четырехугольник $ABCD$. Докажите, что центры тяжести треугольников $ABC$, $CDA$, $BCD$, $DAB$ - лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $E$ и $F$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ и $G$ - центр тяжести треугольника $BCD$ (рис.). Докажем, что точка $M$ пересечения $AG$ с $EF$ — середина $EF$. Действительно, если $H$ — середина $CG$, то, так как $|AE| = |EC|$, отрезок $EH$ параллелен $AG$, и так как $|FG| = |GH|$, тo $|FM| = |ME|$.
Поэтому $|MG| = \frac{1}{2} |EH| = \frac{1}{4} |AG|$. Теперь рассмотрим гомотетию с центром в точке $M$ с отношением - $\frac{1}{3}$. Рассмотрим окружность, в которую она переводит окружность, проходящую через $ABCD$. Мы можем доказать, что все четыре центра тяжести лежат на ней, точно так же, как мы это уже доказали для точки $G$.
В окружность вписан четырехугольник $ABCD$. Докажите, что центры тяжести треугольников $ABC$, $CDA$, $BCD$, $DAB$ - лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $E$ и $F$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ и $G$ - центр тяжести треугольника $BCD$ (рис.). Докажем, что точка $M$ пересечения $AG$ с $EF$ — середина $EF$. Действительно, если $H$ — середина $CG$, то, так как $|AE| = |EC|$, отрезок $EH$ параллелен $AG$, и так как $|FG| = |GH|$, тo $|FM| = |ME|$.
Поэтому $|MG| = \frac{1}{2} |EH| = \frac{1}{4} |AG|$. Теперь рассмотрим гомотетию с центром в точке $M$ с отношением - $\frac{1}{3}$. Рассмотрим окружность, в которую она переводит окружность, проходящую через $ABCD$. Мы можем доказать, что все четыре центра тяжести лежат на ней, точно так же, как мы это уже доказали для точки $G$.
