Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1123
2015-03-20 
Коэффициенты $a, b, c, d$ полинома $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ — целые числа, причем $ad$ — нечетное и $bc$ — четное число. Докажите, что хотя бы один корень полинома нерациональный.
Решение:
Пусть $x_{i} (i=1,2,3)$ — рациональные корни заданного полинома, тогда, очевидно, $ y_{i} = ax $ есть рациональный корень полинома $y^{3} + by^{2} + acy + a^{2}d$. Легко доказать, что всякий рациональный корень полинома с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным 1, — целый. Итак, $y_{1},y_{2},y_{3}$ — целые. Тогда они все три суть делители $a^{2}d$ — нечетного числа. Поэтому они все нечетны. Их сумма $b$ и сумма их парных произведений $ac$ должны быть нечетными числами, т. е. и $b$ и $c$ — нечетны, что противоречит условию ($bc$ — четно).
Коэффициенты $a, b, c, d$ полинома $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ — целые числа, причем $ad$ — нечетное и $bc$ — четное число. Докажите, что хотя бы один корень полинома нерациональный.
Решение:
Пусть $x_{i} (i=1,2,3)$ — рациональные корни заданного полинома, тогда, очевидно, $ y_{i} = ax $ есть рациональный корень полинома $y^{3} + by^{2} + acy + a^{2}d$. Легко доказать, что всякий рациональный корень полинома с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным 1, — целый. Итак, $y_{1},y_{2},y_{3}$ — целые. Тогда они все три суть делители $a^{2}d$ — нечетного числа. Поэтому они все нечетны. Их сумма $b$ и сумма их парных произведений $ac$ должны быть нечетными числами, т. е. и $b$ и $c$ — нечетны, что противоречит условию ($bc$ — четно).
