Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1122
2015-03-20 
Найдите все пары положительных целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющих уравнению $2^{x} = 3^{y} + 5$.
Решение:
Здесь можно предложить сразу два решения этого уравнения: $x=3$, $y=1$; $x=5$, $y=3$.
Докажем, что других решений нет. Для $x=1$, $x=2$, $x=4$, очевидно, не имеется решений. Предположим, что какая-либо пара чисел $(x,y)$ с $x>5$ удовлетворяет уравнению
$2^{x} = 3^{y} + 5$.
В этом случае левая часть уравнения дает остаток 0, если разделить на 64. Правая часть должна также дать тот же остаток.
Если разделим $3^{n}$ на 64, то получим, однако же для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16$ остатки: $3, 9, 27, 17, 51, 25, 11, 33, 35, 41, 59, 49, 19, 57, 43, 1$.
Благодаря тому что при делении $3^{16}$ на 64 мы получим остаток 1, остатки при делении $3^{n}$ на 64 периодически повторяются с периодом 16. Поэтому $y$ должен иметь форму: $y=11+16k$. Мы покажем, что такое решение не существует. При этом мы показываем, что остатки левой и правой части уравнения будут разные, если делить на 17.
Можно легко убедиться, что деление $3^{16}$ на 17 дает остаток 1, значит, остаток от деления $3^{y}$ на 17 тот же, что и остаток от деления $3^{11}$ на 17, т. е. 7. Остается только доказать, что при делении $2^{x}$ на 17 никогда не получится остаток 12.
$2^{n} (n=1,2,3,4,5,6,7)$ при делении на 17 дает следующие остатки:
$2, 4, 8, 16, 15, 13, 9, 1$.
Так как при делении $2^{8}$ на 17 остается остаток 1, то остатки периодически повторяются с периодом 8. Остаток 12 никогда не получится.
Найдите все пары положительных целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющих уравнению $2^{x} = 3^{y} + 5$.
Решение:
Здесь можно предложить сразу два решения этого уравнения: $x=3$, $y=1$; $x=5$, $y=3$.
Докажем, что других решений нет. Для $x=1$, $x=2$, $x=4$, очевидно, не имеется решений. Предположим, что какая-либо пара чисел $(x,y)$ с $x>5$ удовлетворяет уравнению
$2^{x} = 3^{y} + 5$.
В этом случае левая часть уравнения дает остаток 0, если разделить на 64. Правая часть должна также дать тот же остаток.
Если разделим $3^{n}$ на 64, то получим, однако же для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16$ остатки: $3, 9, 27, 17, 51, 25, 11, 33, 35, 41, 59, 49, 19, 57, 43, 1$.
Благодаря тому что при делении $3^{16}$ на 64 мы получим остаток 1, остатки при делении $3^{n}$ на 64 периодически повторяются с периодом 16. Поэтому $y$ должен иметь форму: $y=11+16k$. Мы покажем, что такое решение не существует. При этом мы показываем, что остатки левой и правой части уравнения будут разные, если делить на 17.
Можно легко убедиться, что деление $3^{16}$ на 17 дает остаток 1, значит, остаток от деления $3^{y}$ на 17 тот же, что и остаток от деления $3^{11}$ на 17, т. е. 7. Остается только доказать, что при делении $2^{x}$ на 17 никогда не получится остаток 12.
$2^{n} (n=1,2,3,4,5,6,7)$ при делении на 17 дает следующие остатки:
$2, 4, 8, 16, 15, 13, 9, 1$.
Так как при делении $2^{8}$ на 17 остается остаток 1, то остатки периодически повторяются с периодом 8. Остаток 12 никогда не получится.
