Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1121
2015-03-20 
В больший из двух внутренне касающихся кругов вписан равносторонний треугольник. Из его вершин проведены касательные к меньшему кругу. Докажите, что длина одной из касательных равна сумме длин двух других.
Решение:
Пусть $T$ — точка касания обоих кругов (рис.). $ABC$ — вписанный равносторонний треугольник и $CP$ — большая из трех касательных $AM$, $BN$, $CP$. Покажем, что $|AM| + |BN| = |CP|$. Через $D$, $E$ и $F$ обозначим точки пересечения прямых $AT$, $BT$ и $CT$ с меньшей окружностью. Тогда получим:
$|AM|^{2} = |AD| \cdot |AT|$, (1)
$|BN|^{2} = |BE| \cdot |BT|$, (2)
$|CP|^{2} = |CF| \cdot |CT|$. (3)
Разделив (1) и (2) на (3), получим:
$\frac{|AM|^{2}}{|CP|^{2}} = \frac{|AD| \cdot |AT|}{|CF| \cdot |CT|}$; (4)
$\frac{|BN|^{2}}{|CP|^{2}} = \frac{|BE| \cdot |BT|}{|CF| \cdot |CT|}$. (5)
Оба круга гомотетичны с центром гомотетии $T$. При этой гомотетии точки $D$, $E$, $F$ меньшего круга переходят в точки $A$, $B$, $C$ большего круга. Из этого следует, что $DF \parallel AC, EF \parallel BC$. Значит,
$\frac{|AD|}{|FC|} = \frac{|AT|}{|CT|}; \frac{|BE|}{|CF|} = \frac{|BT|}{|CT|}$.
Равенства (4) и (5) примут вид: $\frac{|AM|}{|CP|} = \frac{|AT|}{|CT|}; \frac{|BN|}{|CP|} = \frac{|BT|}{|CT|}$.
Сложив эти равенства, получим:
$\frac{|AM| + |BN|}{|CP|} = \frac{|AT| + |BT|}{|CT|}$. (6)
Но $T$ есть точка дуги $AB$ круга, описанного около равностороннего треугольника $ABC$. Поэтому $|AT| + |BT| = |CT|$. (Это следует из известной теоремы.)
Следовательно, $\frac{|AM| + |BN|}{|CP|} = 1$ и $|AM| + |BN| = |CP|$.
В больший из двух внутренне касающихся кругов вписан равносторонний треугольник. Из его вершин проведены касательные к меньшему кругу. Докажите, что длина одной из касательных равна сумме длин двух других.
Решение:
Пусть $T$ — точка касания обоих кругов (рис.). $ABC$ — вписанный равносторонний треугольник и $CP$ — большая из трех касательных $AM$, $BN$, $CP$. Покажем, что $|AM| + |BN| = |CP|$. Через $D$, $E$ и $F$ обозначим точки пересечения прямых $AT$, $BT$ и $CT$ с меньшей окружностью. Тогда получим:
$|AM|^{2} = |AD| \cdot |AT|$, (1)
$|BN|^{2} = |BE| \cdot |BT|$, (2)
$|CP|^{2} = |CF| \cdot |CT|$. (3)
Разделив (1) и (2) на (3), получим:
$\frac{|AM|^{2}}{|CP|^{2}} = \frac{|AD| \cdot |AT|}{|CF| \cdot |CT|}$; (4)
$\frac{|BN|^{2}}{|CP|^{2}} = \frac{|BE| \cdot |BT|}{|CF| \cdot |CT|}$. (5)
Оба круга гомотетичны с центром гомотетии $T$. При этой гомотетии точки $D$, $E$, $F$ меньшего круга переходят в точки $A$, $B$, $C$ большего круга. Из этого следует, что $DF \parallel AC, EF \parallel BC$. Значит,
$\frac{|AD|}{|FC|} = \frac{|AT|}{|CT|}; \frac{|BE|}{|CF|} = \frac{|BT|}{|CT|}$.
Равенства (4) и (5) примут вид: $\frac{|AM|}{|CP|} = \frac{|AT|}{|CT|}; \frac{|BN|}{|CP|} = \frac{|BT|}{|CT|}$.
Сложив эти равенства, получим:
$\frac{|AM| + |BN|}{|CP|} = \frac{|AT| + |BT|}{|CT|}$. (6)
Но $T$ есть точка дуги $AB$ круга, описанного около равностороннего треугольника $ABC$. Поэтому $|AT| + |BT| = |CT|$. (Это следует из известной теоремы.)
Следовательно, $\frac{|AM| + |BN|}{|CP|} = 1$ и $|AM| + |BN| = |CP|$.
