Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1120
2015-03-20 
Длины сторон $a, b, c$ треугольника $ABC$ образуют арифметическую прогрессию. Арифметическую прогрессию образуют и длины сторон треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$.
Кроме того, $\hat{A} = \hat{A_{1}}$. Докажите, что треугольники подобны.
Решение:
Из условия следует, что $\alpha = \alpha_{1}$
$(\alpha = \hat{A}; \alpha_{1} = \hat{A_{1}})$ и $\frac{a+c}{b} = \frac{a_{1} + c_{1}}{b_{1}} = 2$. (1)
Из теоремы синусов легко вывести формулу:
$\frac{a+c}{b} = \frac{\cos \frac{\alpha - \gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha + \gamma}{2}}$ (где $\gamma = \hat{C}; \gamma_{1} = \hat{C_{}}$).
Применяя эту формулу, из (1) получим, что
$\cos \frac{\alpha - \gamma}{2} : \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} = \cos \frac{\alpha_{1} - \gamma_{1}}{2} : \cos \frac{\alpha_{1} + \gamma_{1}}{2}$. (2)
Из (2) непосредственно следует:
$\frac{1+ tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\gamma}{2}}{ 1 – tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\gamma}{2}} = \frac{1 + tg \frac{\alpha_{1}}{2} \cdot tg \frac{\gamma_{1}}{2}}{ 1 – tg \frac{\alpha_{1}}{2} \cdot tg \frac{\gamma_{1}}{2}}$.
Упростив, получим: $tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\gamma}{2} = tg \frac{\alpha_{1}}{2} \cdot tg \frac{\gamma_{1}}{2}$,
так как $\alpha = \alpha_{1}$, то $tg \frac{\alpha}{2} = tg \frac{\alpha_{1}}{2}$ и, следовательно, $tg \frac{\gamma}{2} = tg \frac{\gamma_{1}}{2}$; $\gamma$ и $\gamma_{1}$ — углы треугольника, поэтому $0 < \frac{\gamma}{2} < \frac{ \pi}{2}$ и $0 < \frac{\gamma_{1}}{2} < \frac{\pi}{2}$. Значит, $\gamma = \gamma_{1}$, т.е $\triangle ABC \sim \triangle A_{1}B_{1}C{1}$.
Длины сторон $a, b, c$ треугольника $ABC$ образуют арифметическую прогрессию. Арифметическую прогрессию образуют и длины сторон треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$.
Кроме того, $\hat{A} = \hat{A_{1}}$. Докажите, что треугольники подобны.
Решение:
Из условия следует, что $\alpha = \alpha_{1}$
$(\alpha = \hat{A}; \alpha_{1} = \hat{A_{1}})$ и $\frac{a+c}{b} = \frac{a_{1} + c_{1}}{b_{1}} = 2$. (1)
Из теоремы синусов легко вывести формулу:
$\frac{a+c}{b} = \frac{\cos \frac{\alpha - \gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha + \gamma}{2}}$ (где $\gamma = \hat{C}; \gamma_{1} = \hat{C_{}}$).
Применяя эту формулу, из (1) получим, что
$\cos \frac{\alpha - \gamma}{2} : \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} = \cos \frac{\alpha_{1} - \gamma_{1}}{2} : \cos \frac{\alpha_{1} + \gamma_{1}}{2}$. (2)
Из (2) непосредственно следует:
$\frac{1+ tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\gamma}{2}}{ 1 – tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\gamma}{2}} = \frac{1 + tg \frac{\alpha_{1}}{2} \cdot tg \frac{\gamma_{1}}{2}}{ 1 – tg \frac{\alpha_{1}}{2} \cdot tg \frac{\gamma_{1}}{2}}$.
Упростив, получим: $tg \frac{\alpha}{2} \cdot tg \frac{\gamma}{2} = tg \frac{\alpha_{1}}{2} \cdot tg \frac{\gamma_{1}}{2}$,
так как $\alpha = \alpha_{1}$, то $tg \frac{\alpha}{2} = tg \frac{\alpha_{1}}{2}$ и, следовательно, $tg \frac{\gamma}{2} = tg \frac{\gamma_{1}}{2}$; $\gamma$ и $\gamma_{1}$ — углы треугольника, поэтому $0 < \frac{\gamma}{2} < \frac{ \pi}{2}$ и $0 < \frac{\gamma_{1}}{2} < \frac{\pi}{2}$. Значит, $\gamma = \gamma_{1}$, т.е $\triangle ABC \sim \triangle A_{1}B_{1}C{1}$.
