Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 112
2014-06-07 
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, обладающие следующим свойством: если записать рядом числа $n^{3}$ и $n^{4}$ (в десятичной системе счисления), то в полученной записи каждая из 10 цифр $0, 1, \cdots , 9$ встретится ровно 1 раз.
Решение:
Обозначим через $f(m)$ число цифр в десятичной записи числа $m \in \mathbf{N}$, тогда для искомого числа $n$ имеем
$f(n^{3}) + f(n^{4}) = 10$.
Кроме того, $f(n^{3}) \geq 4$, так как в противном случае были бы выполнены соотношения $n^{3} < 1000, n < 10$ и $n^{4} < 10000$, откуда
$f(n^{3}) + f(n^{4}) < 4 + 5 < 10$.
С другой стороны, если $f(n^{3}) \geq 4$, то $n > 10, n^{4} > 10n^{3}$, откуда
$f(n^{3}) \geq 5, f(n^{4}) \geq f(n^{3}) + 1$
$f(n^{3}) + f(n^{4}) \geq 5 + 6 > 10$.
Таким образом, $f(n^{3}) = 4$ и $f(n^{4}) = 6$. Далее, из неравенства $n^{3} < 10000$ имеем оценку $n < 22$, так как $22^{3} > 10000$. Аналогично, из неравенства $n^{4} \geq 100000$ имеем оценку $n > 17$, так как $17^{4} < 100000$. Итак, $18 \leq n \leq 21$. Поскольку любое натуральное число сравнимо по модулю 9 с суммой своих цифр, то
$n^{3} + n^{4} \equiv (0 + 1 + \cdots + 9) (mod 9)$,
откуда
$n^{3}(n + 1) = 0 (mod 9)$.
Последнему условию не удовлетворяют значения $n = 19$ и $n = 20$, а значение $n = 21$ не обладает требуемым в задаче свойством, так как оба числа $21^{3}$ и $21^{4}$ оканчиваются цифрой 1. Наконец, проверка показывает, что единственно возможное значение $n=18$ удовлетворяет условию задачи ($18^{3} = 5832, 18^{4}= 104 976$).
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, обладающие следующим свойством: если записать рядом числа $n^{3}$ и $n^{4}$ (в десятичной системе счисления), то в полученной записи каждая из 10 цифр $0, 1, \cdots , 9$ встретится ровно 1 раз.
Решение:
Обозначим через $f(m)$ число цифр в десятичной записи числа $m \in \mathbf{N}$, тогда для искомого числа $n$ имеем
$f(n^{3}) + f(n^{4}) = 10$.
Кроме того, $f(n^{3}) \geq 4$, так как в противном случае были бы выполнены соотношения $n^{3} < 1000, n < 10$ и $n^{4} < 10000$, откуда
$f(n^{3}) + f(n^{4}) < 4 + 5 < 10$.
С другой стороны, если $f(n^{3}) \geq 4$, то $n > 10, n^{4} > 10n^{3}$, откуда
$f(n^{3}) \geq 5, f(n^{4}) \geq f(n^{3}) + 1$
$f(n^{3}) + f(n^{4}) \geq 5 + 6 > 10$.
Таким образом, $f(n^{3}) = 4$ и $f(n^{4}) = 6$. Далее, из неравенства $n^{3} < 10000$ имеем оценку $n < 22$, так как $22^{3} > 10000$. Аналогично, из неравенства $n^{4} \geq 100000$ имеем оценку $n > 17$, так как $17^{4} < 100000$. Итак, $18 \leq n \leq 21$. Поскольку любое натуральное число сравнимо по модулю 9 с суммой своих цифр, то
$n^{3} + n^{4} \equiv (0 + 1 + \cdots + 9) (mod 9)$,
откуда
$n^{3}(n + 1) = 0 (mod 9)$.
Последнему условию не удовлетворяют значения $n = 19$ и $n = 20$, а значение $n = 21$ не обладает требуемым в задаче свойством, так как оба числа $21^{3}$ и $21^{4}$ оканчиваются цифрой 1. Наконец, проверка показывает, что единственно возможное значение $n=18$ удовлетворяет условию задачи ($18^{3} = 5832, 18^{4}= 104 976$).
