Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1119
2015-03-20 
Решите уравнение и исследуйте его решения для различных значений $m$:
$|x^{2}-1|+|x^{2}-4|=mx$.
Какие пары целых чисел $(x,m)$ удовлетворяют данному равенству?
Решение:
Левая часть уравнения (мы будем ее называть $f(x)$) представляется разными алгебраическими функциями в интервалах $(- \infty, - 2),(-2,-1),(-1,+1),(1,2),(2, + \infty)$.
Далее, левая часть строго положительная и является четной функцией $f(x) = f(-x)$. Правая часть нечетна, на одной полуоси она положительна, а на другой отрицательна. Поэтому, если $m \geq 0$, то достаточно рассмотреть только положительные $x$ и провести исследование в интервалах $(0,1),(1,2),(2,+ \infty)$.
Наоборот, при $m = - t < 0$ на положительной полуоси решений нет, а корни уравнения на отрицательной полуоси противоположны по знаку корням уравнения с $m=t > 0$.
Итак, пусть $m \geq 0$.
Интервал $0 < x < 1$. Уравнение имеет вид: $5 – 2x^{2} = mx$ корнями $x_{1,2} = \frac{-m \pm \sqrt{m^{2}+40}}{4}$.
Положительный корень $ x_{1} = \frac{-m + \sqrt{m^{2}+40}}{4}$ — единственный. Он подходит, если $x_{1} < 1$, когда $f(1) = 3 < m$, т. е. при $m > 3$.
Точка $x=1$. Соотношение $3 = m$, т. е. точка $x=1$ — корень при $m=3$.
Интервал $1 < x < 2$. Уравнение имеет вид: $3=mx$. Единственный корень $x=\frac{3}{m}$. Он подходит, если $1 < \frac{3}{m} < 2$ или $\frac{3}{2} < m < 3$.
Точка $x=2$. Соотношение $3=2m$, т. е. точка $x=2$ есть корень при $m = \frac{3}{2}$.
Интервал $(2, + \infty)$. Уравнение имеет вид: $2x^{2} – 5 = mx$ с корнями $x_{1,2} = \frac{m \pm \sqrt{m^{2} +40}}{4}$.
Положительный корень $x_{1} = \frac{m+\sqrt{m^{2} + 40}}{4}$ — единственный. Должно быть $x_{1} > 2$, тогда $f(2) = 3 < 2m$, т. е. при $m > \frac{3}{2}$.
а) Итак, если $m$ положительно, то уравнение имеет решение при $m \geq \frac{3}{2}$. При $m = \frac{3}{2}$ существует единственное решение: $x=2$, при $m > \frac{3}{2} $ существуют два решения: $0 < x_{1} < 2$ и $x_{2} > 2$. Совершенно аналогично, если $m$ отрицательно, то при $m \geq - \frac{3}{2}$ решений нет, при $m=- \frac{3}{2}$ — единственное решение: $x = -2$, при $m < - \frac{3}{2}$ — два решения: $0 > x_{1} > - 2$ и $x_{2} < -2$.
б) Корень $x=1$ получается при $m=3$, таким образом, имеем пары $(1,3)$ и $(-1,-3)$.
Корень $x=2$ отвечает дробному $m = \frac{3}{2}$.
Остается проверить целые числа $x > 2$. Они должны быть корнями уравнения $2x^{2} – 5 = mx$. Отсюда $5 = x(2x - m)$. Оба множителя $x$ и $2x-m$ — целые. Так как $x > 0$, то $2x-m$ также положительно. Но 5 — простое число и разлагается в произведение положительных сомножителей всего двумя способами:
$5 = 1 \cdot 5 = 5 \cdot 1$.
Первое разложение дает $x=1$, что не годится, так как мы рассматриваем лишь $x > 2$.
Остается вторая возможность: $x=5$, $m=9$. Таким образом, получаются еще две пары: $(5,9)$ и $(-5,-9)$. Больше целых пар нет.
Решите уравнение и исследуйте его решения для различных значений $m$:
$|x^{2}-1|+|x^{2}-4|=mx$.
Какие пары целых чисел $(x,m)$ удовлетворяют данному равенству?
Решение:
Левая часть уравнения (мы будем ее называть $f(x)$) представляется разными алгебраическими функциями в интервалах $(- \infty, - 2),(-2,-1),(-1,+1),(1,2),(2, + \infty)$.
Далее, левая часть строго положительная и является четной функцией $f(x) = f(-x)$. Правая часть нечетна, на одной полуоси она положительна, а на другой отрицательна. Поэтому, если $m \geq 0$, то достаточно рассмотреть только положительные $x$ и провести исследование в интервалах $(0,1),(1,2),(2,+ \infty)$.
Наоборот, при $m = - t < 0$ на положительной полуоси решений нет, а корни уравнения на отрицательной полуоси противоположны по знаку корням уравнения с $m=t > 0$.
Итак, пусть $m \geq 0$.
Интервал $0 < x < 1$. Уравнение имеет вид: $5 – 2x^{2} = mx$ корнями $x_{1,2} = \frac{-m \pm \sqrt{m^{2}+40}}{4}$.
Положительный корень $ x_{1} = \frac{-m + \sqrt{m^{2}+40}}{4}$ — единственный. Он подходит, если $x_{1} < 1$, когда $f(1) = 3 < m$, т. е. при $m > 3$.
Точка $x=1$. Соотношение $3 = m$, т. е. точка $x=1$ — корень при $m=3$.
Интервал $1 < x < 2$. Уравнение имеет вид: $3=mx$. Единственный корень $x=\frac{3}{m}$. Он подходит, если $1 < \frac{3}{m} < 2$ или $\frac{3}{2} < m < 3$.
Точка $x=2$. Соотношение $3=2m$, т. е. точка $x=2$ есть корень при $m = \frac{3}{2}$.
Интервал $(2, + \infty)$. Уравнение имеет вид: $2x^{2} – 5 = mx$ с корнями $x_{1,2} = \frac{m \pm \sqrt{m^{2} +40}}{4}$.
Положительный корень $x_{1} = \frac{m+\sqrt{m^{2} + 40}}{4}$ — единственный. Должно быть $x_{1} > 2$, тогда $f(2) = 3 < 2m$, т. е. при $m > \frac{3}{2}$.
а) Итак, если $m$ положительно, то уравнение имеет решение при $m \geq \frac{3}{2}$. При $m = \frac{3}{2}$ существует единственное решение: $x=2$, при $m > \frac{3}{2} $ существуют два решения: $0 < x_{1} < 2$ и $x_{2} > 2$. Совершенно аналогично, если $m$ отрицательно, то при $m \geq - \frac{3}{2}$ решений нет, при $m=- \frac{3}{2}$ — единственное решение: $x = -2$, при $m < - \frac{3}{2}$ — два решения: $0 > x_{1} > - 2$ и $x_{2} < -2$.
б) Корень $x=1$ получается при $m=3$, таким образом, имеем пары $(1,3)$ и $(-1,-3)$.
Корень $x=2$ отвечает дробному $m = \frac{3}{2}$.
Остается проверить целые числа $x > 2$. Они должны быть корнями уравнения $2x^{2} – 5 = mx$. Отсюда $5 = x(2x - m)$. Оба множителя $x$ и $2x-m$ — целые. Так как $x > 0$, то $2x-m$ также положительно. Но 5 — простое число и разлагается в произведение положительных сомножителей всего двумя способами:
$5 = 1 \cdot 5 = 5 \cdot 1$.
Первое разложение дает $x=1$, что не годится, так как мы рассматриваем лишь $x > 2$.
Остается вторая возможность: $x=5$, $m=9$. Таким образом, получаются еще две пары: $(5,9)$ и $(-5,-9)$. Больше целых пар нет.
