Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1118
2015-03-19 
Докажите, что если $n$ — целое положительное число, то:
а) $lg(n+1) > \frac{3}{10n} + lg n$;
б) $lg(n!) > \frac{3n}{10} \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - 1 \right )$
($lg$ — символ обычного десятичного логарифма).
Решение:
а) Если $a$ и $b$ положительны, формула бинома Ньютона дает
$(a+b)^{n} > a^{n} + na^{n-1} \cdot b$,
откуда
$(n+1)^{n} > 2 \cdot n^{n}$.
Десятая степень этого неравенства дает
$(n+1)^{10n} > 2^{10}n^{10n} > 1000 \cdot n^{10n}$.
Логарифмируя это неравенство, получаем:
$lg(n+1) > \frac{3}{10n} + lg n$.
б) Перепишем полученное неравенство в виде
$lg(k+1) > \frac{3}{10k} + lg k$.
Суммируя такие неравенства от $k=1$ до $k=m-1$ и учитывая, что $lg 1 = 0$, а слагаемые $lg 2, \cdots , lg(m-1)$ в левой и правой части неравенства взаимно уничтожаются, получаем:
$lg m > \frac{3}{10} \left ( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{m-1} \right )$.
Сложим полученные неравенства от $m=2$ до $m=n$:
$lg n! = lg 2 + \cdots + lg n > \frac{3}{10} \left ( \frac{n-1}{1} + \frac{n-2}{2} + \cdots + \frac{n-(n-1)}{n-1} \right ) = \frac{3}{10} \left ( n \cdot \left ( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n-1} \right ) – (n-1) \right ) > \frac{3}{10} n \cdot \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} – 1 \right )$,
что и требовалось доказать.
Докажите, что если $n$ — целое положительное число, то:
а) $lg(n+1) > \frac{3}{10n} + lg n$;
б) $lg(n!) > \frac{3n}{10} \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - 1 \right )$
($lg$ — символ обычного десятичного логарифма).
Решение:
а) Если $a$ и $b$ положительны, формула бинома Ньютона дает
$(a+b)^{n} > a^{n} + na^{n-1} \cdot b$,
откуда
$(n+1)^{n} > 2 \cdot n^{n}$.
Десятая степень этого неравенства дает
$(n+1)^{10n} > 2^{10}n^{10n} > 1000 \cdot n^{10n}$.
Логарифмируя это неравенство, получаем:
$lg(n+1) > \frac{3}{10n} + lg n$.
б) Перепишем полученное неравенство в виде
$lg(k+1) > \frac{3}{10k} + lg k$.
Суммируя такие неравенства от $k=1$ до $k=m-1$ и учитывая, что $lg 1 = 0$, а слагаемые $lg 2, \cdots , lg(m-1)$ в левой и правой части неравенства взаимно уничтожаются, получаем:
$lg m > \frac{3}{10} \left ( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{m-1} \right )$.
Сложим полученные неравенства от $m=2$ до $m=n$:
$lg n! = lg 2 + \cdots + lg n > \frac{3}{10} \left ( \frac{n-1}{1} + \frac{n-2}{2} + \cdots + \frac{n-(n-1)}{n-1} \right ) = \frac{3}{10} \left ( n \cdot \left ( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n-1} \right ) – (n-1) \right ) > \frac{3}{10} n \cdot \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} – 1 \right )$,
что и требовалось доказать.
