Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1117
2015-03-19 
Данное натуральное число $N$ раскладывается на сумму нескольких последовательных целых чисел.
а) Найдите все такие разложения для $N=500$.
б) Найдите число этих разложений для $N=2^{\alpha}3^{\beta}5^{\gamma}$ ($\alpha, \beta, \gamma$ — натуральные числа). Какие из этих разложений содержат только натуральные числа?
в) Найдите число этих разложений для произвольного натурального $N$.
Решение:
Пусть $x, x+1, \cdots, x+k $ — искомые $1+k$ целых чисел. Уравнение задачи есть
$x + (x+1) + \cdots + (x+k) = N$
или
$\frac{(x+x+k)(k+1)}{2} = N$.
Откуда
$x = \frac{N}{k+1} - \frac{k}{2}$. (1)
а) Поскольку $N= 500 = 2^{2} \cdot 5^{3}$, соотношение (1) приводит к анализу следующих двух случаев.
Если $k$ — четно, то, чтобы $x$ было целым, $k+1$ должно быть равно $1, 5, 5^{2}$ или $5^{3}$. Итак,
$k_{1} + 1 = 1; x_{1} = \div 500; 500$.
$k_{2} + 1 = 5; x_{2} = \div 98; 98,99,100,101,102$.
$k_{3}+1 = 5^{2}; x_{3} = \div 8; 8,9,10, \cdots, 31, 32$.
$k_{4} + 1 = 5^{3}; x_{4} = \div -58; -58,-57, \cdots, 65, 66 $.
Если $k$ — нечетно, то, чтобы $x$ было целым, дробь $\frac{500}{k+1}$ должна быть равна $m + \frac{1}{2}$ ($m$ — целое). Следовательно, $k+1$ должно быть произведением множителя $2^{3}$ с $1, 5, 5^{2}$ или $5^{3}$. Получаем:
$k_{5} + 1 = 2^{3}; x_{5} = 59; \div 59,60, \cdots, 65, 66$.
$ k_{6} + 1 = 2^{3}5; x_{5} = -7; \div -7,-6, \cdots, 31, 32$.
$ k_{7} + 1 = 2^{3}5^{2}; x_{5} = -97; \div -97, -96, \cdots, 101, 102$.
$ k_{8} + 1 = 2^{3}5^{3}; x_{5} = -499; \div -499, -498, \cdots, 499, 500$.
б) Соотношение (1) будет выглядеть:
$x = \frac{2^{\alpha}3^{\beta}5^{\gamma}}{k+1} - \frac{k}{2}$.
Если $k$ — четно, $k+1$ может принимать нечетные значения $1, 3, 3^{2}, \cdots, 3^{\beta}$; $5 \cdot 1, 5 \cdot 3, \cdots , 5^{2} \cdot 1, \cdots , 5^{2} \cdot 3^{\beta}, \cdots , 5^{\gamma} \cdot 1, 5^{\gamma} \cdot 3, \cdots, 5^{\gamma} \cdot 3^{\beta}$, т. е. $(beta + 1)(\gamma + 1)$ значений.
Таково же число искомых сумм.
Если $k$ — нечетно, то, чтобы $x$ было целым, $\frac{2^{\alpha} 3^{\beta} 5^{\gamma}}{k+1}$ должно быть равно $m + \frac{1}{2}$.
Следовательно, $k+1$ может принимать предыдущие значения, помноженные каждое на $2^{\alpha + 1}$, т. е. $(\beta + 1) (\gamma + 1)$ значений. В итоге мы получаем $2 (\beta + 1) (\gamma + 1)$ сумм.
Ровно половина этих сумм будет состоять только из натуральных чисел.
В самом деле, если из множества натуральных чисел:
$x + (x+1) + \cdots + (x+k) = N, x \geq 1, x \geq 1$ можно получить множество целых чисел с той же суммой
$(-x + 1) + \cdots + 0 + \cdots + (x-1) + x + \cdots + (x+k) = N$
(когда $x=1$), то добавляется только 0.
Наоборот, если множество начинается с отрицательного $x = - y$, то, поскольку $N \geq 1$, положительных членов больше и $(-y) + (-y+1) + \cdots + 0 + \cdots + y + (y+1) + \cdots + (y+k) = N = (y+1) + \cdots + (y+k) = N$. Таким образом, каждому множеству из натуральных чисел сопоставляется ровно одно, начинающееся с отрицательного числа или нуля. Следовательно, число сумм из натуральных чисел равно $(\beta + 1) (\gamma + 1)$.
в) Если $N = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} \cdots m^{\mu}$, где $a, b, c, \cdots, m$ — возрастающие простые числа и $\alpha, \beta, \gamma, \cdots , \mu$ — натуральные числа, исследование разбивается на два случая:
$1^{\circ}. a = 2$; тогда рассуждениями, аналогичными вышеприведенным, устанавливается, что число искомых множеств есть $2(\beta +1 ) \cdots (\mu +1)$;
$2^{\circ}. a > 2$, число $N$ — нечетно; тогда рассуждениями, сходными вышеприведенным, устанавливается, что число искомых множеств
равно
$(\alpha + 1)(\beta + 1)(\gamma + 1) \cdots (\mu +1)$.
Данное натуральное число $N$ раскладывается на сумму нескольких последовательных целых чисел.
а) Найдите все такие разложения для $N=500$.
б) Найдите число этих разложений для $N=2^{\alpha}3^{\beta}5^{\gamma}$ ($\alpha, \beta, \gamma$ — натуральные числа). Какие из этих разложений содержат только натуральные числа?
в) Найдите число этих разложений для произвольного натурального $N$.
Решение:
Пусть $x, x+1, \cdots, x+k $ — искомые $1+k$ целых чисел. Уравнение задачи есть
$x + (x+1) + \cdots + (x+k) = N$
или
$\frac{(x+x+k)(k+1)}{2} = N$.
Откуда
$x = \frac{N}{k+1} - \frac{k}{2}$. (1)
а) Поскольку $N= 500 = 2^{2} \cdot 5^{3}$, соотношение (1) приводит к анализу следующих двух случаев.
Если $k$ — четно, то, чтобы $x$ было целым, $k+1$ должно быть равно $1, 5, 5^{2}$ или $5^{3}$. Итак,
$k_{1} + 1 = 1; x_{1} = \div 500; 500$.
$k_{2} + 1 = 5; x_{2} = \div 98; 98,99,100,101,102$.
$k_{3}+1 = 5^{2}; x_{3} = \div 8; 8,9,10, \cdots, 31, 32$.
$k_{4} + 1 = 5^{3}; x_{4} = \div -58; -58,-57, \cdots, 65, 66 $.
Если $k$ — нечетно, то, чтобы $x$ было целым, дробь $\frac{500}{k+1}$ должна быть равна $m + \frac{1}{2}$ ($m$ — целое). Следовательно, $k+1$ должно быть произведением множителя $2^{3}$ с $1, 5, 5^{2}$ или $5^{3}$. Получаем:
$k_{5} + 1 = 2^{3}; x_{5} = 59; \div 59,60, \cdots, 65, 66$.
$ k_{6} + 1 = 2^{3}5; x_{5} = -7; \div -7,-6, \cdots, 31, 32$.
$ k_{7} + 1 = 2^{3}5^{2}; x_{5} = -97; \div -97, -96, \cdots, 101, 102$.
$ k_{8} + 1 = 2^{3}5^{3}; x_{5} = -499; \div -499, -498, \cdots, 499, 500$.
б) Соотношение (1) будет выглядеть:
$x = \frac{2^{\alpha}3^{\beta}5^{\gamma}}{k+1} - \frac{k}{2}$.
Если $k$ — четно, $k+1$ может принимать нечетные значения $1, 3, 3^{2}, \cdots, 3^{\beta}$; $5 \cdot 1, 5 \cdot 3, \cdots , 5^{2} \cdot 1, \cdots , 5^{2} \cdot 3^{\beta}, \cdots , 5^{\gamma} \cdot 1, 5^{\gamma} \cdot 3, \cdots, 5^{\gamma} \cdot 3^{\beta}$, т. е. $(beta + 1)(\gamma + 1)$ значений.
Таково же число искомых сумм.
Если $k$ — нечетно, то, чтобы $x$ было целым, $\frac{2^{\alpha} 3^{\beta} 5^{\gamma}}{k+1}$ должно быть равно $m + \frac{1}{2}$.
Следовательно, $k+1$ может принимать предыдущие значения, помноженные каждое на $2^{\alpha + 1}$, т. е. $(\beta + 1) (\gamma + 1)$ значений. В итоге мы получаем $2 (\beta + 1) (\gamma + 1)$ сумм.
Ровно половина этих сумм будет состоять только из натуральных чисел.
В самом деле, если из множества натуральных чисел:
$x + (x+1) + \cdots + (x+k) = N, x \geq 1, x \geq 1$ можно получить множество целых чисел с той же суммой
$(-x + 1) + \cdots + 0 + \cdots + (x-1) + x + \cdots + (x+k) = N$
(когда $x=1$), то добавляется только 0.
Наоборот, если множество начинается с отрицательного $x = - y$, то, поскольку $N \geq 1$, положительных членов больше и $(-y) + (-y+1) + \cdots + 0 + \cdots + y + (y+1) + \cdots + (y+k) = N = (y+1) + \cdots + (y+k) = N$. Таким образом, каждому множеству из натуральных чисел сопоставляется ровно одно, начинающееся с отрицательного числа или нуля. Следовательно, число сумм из натуральных чисел равно $(\beta + 1) (\gamma + 1)$.
в) Если $N = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} \cdots m^{\mu}$, где $a, b, c, \cdots, m$ — возрастающие простые числа и $\alpha, \beta, \gamma, \cdots , \mu$ — натуральные числа, исследование разбивается на два случая:
$1^{\circ}. a = 2$; тогда рассуждениями, аналогичными вышеприведенным, устанавливается, что число искомых множеств есть $2(\beta +1 ) \cdots (\mu +1)$;
$2^{\circ}. a > 2$, число $N$ — нечетно; тогда рассуждениями, сходными вышеприведенным, устанавливается, что число искомых множеств
равно
$(\alpha + 1)(\beta + 1)(\gamma + 1) \cdots (\mu +1)$.
