Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1116
2015-03-19 
В плоскости дана окружность с центром $S$ и радиусом 1. Пусть $ABC$ — произвольный треугольник, для которого окружность является вписанной, и пусть
$|SA| \leq |SB| \leq |SC|$.
Найдите геометрическое место:
а) вершин $A$ таких треугольников;
б) » $B$ » » ;
в) » $C$ » » .
Решение:
Обозначим $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ внутренние углы треугольника $ABC$ при вершинах $A$, $B$, $C$ соответственно. Тогда
$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{|SA|}; \sin \frac{\beta}{2} = \frac{1}{|SB|}; \sin \frac{\gamma}{2} = \frac{1}{|SC|}$. (1)
И вследствие $|SA| \leq |SB| \leq |SC|$ (*)
$\sin \frac{\alpha}{2} \geq \sin \frac{\beta}{2} \geq \sin \frac{\gamma}{2}$. (2)
Так как углы $\frac{\alpha}{2}$, $\frac{\beta}{2}$, $ \frac{\gamma}{2}$ — острые, имеем из (2):
$90^{\circ} > \frac{\alpha}{2} \geq \frac{\beta}{2} \geq \frac{\gamma}{2} > 0$,
т. е.
$180^{\circ} > \alpha \geq \beta \geq \gamma > 0$. (3)
Используя
$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$.
и неравенство (3), получим:
$\alpha + \beta + \gamma \leq 180^{\circ}, \alpha + \beta + \gamma \geq 3 \gamma$,
$180^{\circ} \leq 3 \alpha, 180^{\circ} \geq 3 \gamma$, Т. e.
$60^{\circ} \leq \alpha, 60^{\circ} \geq \gamma$. (4)
Отсюда $\frac{\alpha}{2} \geq 30^{\circ}$ и вследствие (1)
$|SA| = \frac{1}{ \sin \frac{ \alpha}{2}} \leq \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = 2$. (5)
I. Все вершины $A$ лежат на окружностях с центром $S$ и радиусом, большим 1 и меньшим или равным 2 (рис.).
Из (4) имеем, далее, $\frac{\gamma}{2} \leq 30^{\circ}$ и из (1)
$|SC| = \frac{1}{\sin \frac{\gamma}{2}} \geq \frac{1}{ \sin 30^{\circ}} = 2$. (6)
II. Все вершины $C$ лежат на окружностях с центром $S$, радиусы которых больше или равны 2.
Для угла $\beta$ получаем неравенство
$0^{\circ} < \beta < 90^{\circ}$,
т. е. $0 < \frac{\beta}{2} < 45^{\circ}$. Из (2) тогда получаем:
$|SB| = \frac{1}{ \sin \frac{\beta}{2}} > \frac{1}{ \sin 45^{\circ}} = \sqrt{2}$. (7)
III. Все вершины $B$ лежат на окружностях с центром $S$ радиус которых больше чем $\sqrt{2}$.
Во всех трех случаях I, II, III верно и обратное.
Если длина отрезка $SA(SC,SB)$ удовлетворяет неравенству (5), (6), (7), то соответствующая точка $$ является вершиной некоторого треугольника $A(C,B)$, для которого выполнено (*).
В плоскости дана окружность с центром $S$ и радиусом 1. Пусть $ABC$ — произвольный треугольник, для которого окружность является вписанной, и пусть
$|SA| \leq |SB| \leq |SC|$.
Найдите геометрическое место:
а) вершин $A$ таких треугольников;
б) » $B$ » » ;
в) » $C$ » » .
Решение:
Обозначим $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ внутренние углы треугольника $ABC$ при вершинах $A$, $B$, $C$ соответственно. Тогда
$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{|SA|}; \sin \frac{\beta}{2} = \frac{1}{|SB|}; \sin \frac{\gamma}{2} = \frac{1}{|SC|}$. (1)
И вследствие $|SA| \leq |SB| \leq |SC|$ (*)
$\sin \frac{\alpha}{2} \geq \sin \frac{\beta}{2} \geq \sin \frac{\gamma}{2}$. (2)
Так как углы $\frac{\alpha}{2}$, $\frac{\beta}{2}$, $ \frac{\gamma}{2}$ — острые, имеем из (2):
$90^{\circ} > \frac{\alpha}{2} \geq \frac{\beta}{2} \geq \frac{\gamma}{2} > 0$,
т. е.
$180^{\circ} > \alpha \geq \beta \geq \gamma > 0$. (3)
Используя
$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$.
и неравенство (3), получим:
$\alpha + \beta + \gamma \leq 180^{\circ}, \alpha + \beta + \gamma \geq 3 \gamma$,
$180^{\circ} \leq 3 \alpha, 180^{\circ} \geq 3 \gamma$, Т. e.
$60^{\circ} \leq \alpha, 60^{\circ} \geq \gamma$. (4)
Отсюда $\frac{\alpha}{2} \geq 30^{\circ}$ и вследствие (1)
$|SA| = \frac{1}{ \sin \frac{ \alpha}{2}} \leq \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = 2$. (5)
I. Все вершины $A$ лежат на окружностях с центром $S$ и радиусом, большим 1 и меньшим или равным 2 (рис.).
Из (4) имеем, далее, $\frac{\gamma}{2} \leq 30^{\circ}$ и из (1)
$|SC| = \frac{1}{\sin \frac{\gamma}{2}} \geq \frac{1}{ \sin 30^{\circ}} = 2$. (6)
II. Все вершины $C$ лежат на окружностях с центром $S$, радиусы которых больше или равны 2.
Для угла $\beta$ получаем неравенство
$0^{\circ} < \beta < 90^{\circ}$,
т. е. $0 < \frac{\beta}{2} < 45^{\circ}$. Из (2) тогда получаем:
$|SB| = \frac{1}{ \sin \frac{\beta}{2}} > \frac{1}{ \sin 45^{\circ}} = \sqrt{2}$. (7)
III. Все вершины $B$ лежат на окружностях с центром $S$ радиус которых больше чем $\sqrt{2}$.
Во всех трех случаях I, II, III верно и обратное.
Если длина отрезка $SA(SC,SB)$ удовлетворяет неравенству (5), (6), (7), то соответствующая точка $$ является вершиной некоторого треугольника $A(C,B)$, для которого выполнено (*).
