Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1112
2015-03-19 
Пусть $P$ и $P^{\prime}$ — равновеликие параллелограммы, стороны которых $a$, $b$ и $a^{\prime}$, $b^{\prime}$ удовлетворяют неравенствам $a^{\prime} \leq a \leq b \leq b^{\prime}$, причем отрезок $b^{\prime}$ может быть целиком помещен в $P$.
Докажите, что $P$ и $P^{\prime}$ равносоставлены и могут быть разложены на четыре попарно конгруэнтных многоугольника.
Решение:
Пусть $P(ABCD)$ и $P^{\prime}(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime})$ — данные параллелограммы, причем
$|AB|=|DC|=b, |AD| = |BC| = a, |A^{\prime}B^{\prime}| = |D^{\prime}C^{\prime}| = a^{\prime}, |A^{\prime}D^{\prime}| = |B^{\prime}C^{\prime}| = b^{\prime}$,
и наряду с этим $b^{\prime} \leq AC$.
Построим параллелограмм $P_{1}(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})$ со сторонами $a$ и $ b^{\prime}$, равносоставленный с $P^{\prime}$, следующим образом (рис.). Обозначаем $A_{1}=A^{\prime}$, $D_{1}=D^{\prime}$. После чего проводим окружность с центром в точке $A^{\prime}$ и радиусом $a$ и получаем точку пересечения $B_{1}$, этой окружности с отрезком $B^{\prime}C^{\prime}$. (Это осуществимо ввиду того, что $a^{\prime} \leq a \leq b^{\prime} < |A^{\prime}C^{\prime}|$.) Наконец, строим точку $C_{1}$ так, чтобы $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ был параллелограммом. Очевидно, $P^{\prime}$ может быть разложен на две части, из которых можно составить $P_{1}$.
Далее аналогичным образом строим параллелограмм $P_{2}(A_{2}B_{2}C_{2}D_{2})$ со сторонами $a$ и $b^{\prime}$, который можно разложить на две части, из которых составить $P$. Для этого обозначим $A_{2} = A, D_{2} = D$, после чего проводим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $b^{\prime}$ и получаем точку пересечения $B_{2}$ этой окружности с отрезком $BC$ (это осуществимо ввиду того, что $b \leq b^{\prime} \leq |AC|$). Наконец, строим точку $C_{2}$ так, чтобы $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ был параллелограммом.
Очевидно, $P$ может быть разложен на две части, из которых можно составить $P_{2}$.
Так как по построению параллелограммы $P_{1}$ и $P_{2}$ равновеликие с $P^{\prime}$ и $P$ и имеют стороны $a$ и $b^{\prime}$, то $P_{1}$ и $P_{2}$ конгруэнтны.
Этим доказано, что параллелограмм $P^{\prime}$ может быть разбит на четыре части, из которых можно составить параллелограмм $P$.
Пусть $P$ и $P^{\prime}$ — равновеликие параллелограммы, стороны которых $a$, $b$ и $a^{\prime}$, $b^{\prime}$ удовлетворяют неравенствам $a^{\prime} \leq a \leq b \leq b^{\prime}$, причем отрезок $b^{\prime}$ может быть целиком помещен в $P$.
Докажите, что $P$ и $P^{\prime}$ равносоставлены и могут быть разложены на четыре попарно конгруэнтных многоугольника.
Решение:
Пусть $P(ABCD)$ и $P^{\prime}(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime})$ — данные параллелограммы, причем
$|AB|=|DC|=b, |AD| = |BC| = a, |A^{\prime}B^{\prime}| = |D^{\prime}C^{\prime}| = a^{\prime}, |A^{\prime}D^{\prime}| = |B^{\prime}C^{\prime}| = b^{\prime}$,
и наряду с этим $b^{\prime} \leq AC$.
Построим параллелограмм $P_{1}(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})$ со сторонами $a$ и $ b^{\prime}$, равносоставленный с $P^{\prime}$, следующим образом (рис.). Обозначаем $A_{1}=A^{\prime}$, $D_{1}=D^{\prime}$. После чего проводим окружность с центром в точке $A^{\prime}$ и радиусом $a$ и получаем точку пересечения $B_{1}$, этой окружности с отрезком $B^{\prime}C^{\prime}$. (Это осуществимо ввиду того, что $a^{\prime} \leq a \leq b^{\prime} < |A^{\prime}C^{\prime}|$.) Наконец, строим точку $C_{1}$ так, чтобы $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ был параллелограммом. Очевидно, $P^{\prime}$ может быть разложен на две части, из которых можно составить $P_{1}$.
Далее аналогичным образом строим параллелограмм $P_{2}(A_{2}B_{2}C_{2}D_{2})$ со сторонами $a$ и $b^{\prime}$, который можно разложить на две части, из которых составить $P$. Для этого обозначим $A_{2} = A, D_{2} = D$, после чего проводим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $b^{\prime}$ и получаем точку пересечения $B_{2}$ этой окружности с отрезком $BC$ (это осуществимо ввиду того, что $b \leq b^{\prime} \leq |AC|$). Наконец, строим точку $C_{2}$ так, чтобы $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ был параллелограммом.
Очевидно, $P$ может быть разложен на две части, из которых можно составить $P_{2}$.
Так как по построению параллелограммы $P_{1}$ и $P_{2}$ равновеликие с $P^{\prime}$ и $P$ и имеют стороны $a$ и $b^{\prime}$, то $P_{1}$ и $P_{2}$ конгруэнтны.
Этим доказано, что параллелограмм $P^{\prime}$ может быть разбит на четыре части, из которых можно составить параллелограмм $P$.
