Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1109
2015-03-14 
Постройте треугольник, если известны радиусы вневписанных окружностей.
Решение:
Известно, что радиус вневписанной в треугольник окружности, касающейся извне его стороны $a$,
$r_{1} = \frac{s}{p-a}$,
где $s$ — площадь, а $p$ — полупериметр треугольника. (Сравните с формулой для радиуса вписанной окружности.)
Аналогичным образом
$r_{b} = \frac{s}{p-b}, r_{c} = \frac{s}{p-c}$.
Попарно перемножая эти равенства и используя формулу Герона, имеем:
$r_{a}r_{b}=p(p-c),r_{b}r_{c} = p(p-a), r_{c}r_{a}=p(p-b)$.
Складывая соответствующие стороны последних равенств, получаем:
$r_{a}r_{b} + r_{b}r_{c} + r_{c}r_{a} = p^{2}$.
Так как
$ r_{b}r_{c}=p(p-a)$,
то имеет место:
$a = \frac{1}{p} (p^{2} – r_{b}r_{c}) = \frac{r_{a}(r_{b}+r_{c})}{\sqrt{r_{a}r_{b} + r_{b}r_{c} + r_{c}r_{a}}}$.
На основании этого равенства сторона $a$ может быть построена. Аналогичным образом можно построить стороны $b$ и $c$, а с их помощью сам треугольник. Легко видеть, что построение может быть проведено, причем единственным образом, какими бы ни были радиусы вневписанных окружностей.
Замечание. Задачу можно решить и проще, используя метод подобия. Приведенное выше решение обладает тем преимуществом, что из него легко получить условие возможности построения искомого треугольника.
Постройте треугольник, если известны радиусы вневписанных окружностей.
Решение:
Известно, что радиус вневписанной в треугольник окружности, касающейся извне его стороны $a$,
$r_{1} = \frac{s}{p-a}$,
где $s$ — площадь, а $p$ — полупериметр треугольника. (Сравните с формулой для радиуса вписанной окружности.)
Аналогичным образом
$r_{b} = \frac{s}{p-b}, r_{c} = \frac{s}{p-c}$.
Попарно перемножая эти равенства и используя формулу Герона, имеем:
$r_{a}r_{b}=p(p-c),r_{b}r_{c} = p(p-a), r_{c}r_{a}=p(p-b)$.
Складывая соответствующие стороны последних равенств, получаем:
$r_{a}r_{b} + r_{b}r_{c} + r_{c}r_{a} = p^{2}$.
Так как
$ r_{b}r_{c}=p(p-a)$,
то имеет место:
$a = \frac{1}{p} (p^{2} – r_{b}r_{c}) = \frac{r_{a}(r_{b}+r_{c})}{\sqrt{r_{a}r_{b} + r_{b}r_{c} + r_{c}r_{a}}}$.
На основании этого равенства сторона $a$ может быть построена. Аналогичным образом можно построить стороны $b$ и $c$, а с их помощью сам треугольник. Легко видеть, что построение может быть проведено, причем единственным образом, какими бы ни были радиусы вневписанных окружностей.
Замечание. Задачу можно решить и проще, используя метод подобия. Приведенное выше решение обладает тем преимуществом, что из него легко получить условие возможности построения искомого треугольника.
