Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1107
2015-03-14 
Пусть $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ — два параллелограмма, произвольно расположенные в пространстве, и $M$, $N$, $P$, $Q$ точки, делящие отрезки $AA^{\prime}$, $BB^{\prime}$, $CC^{\prime}$, $DD^{\prime}$ в одинаковом отношении.
а) Докажите, что $MNPQ$ — параллелограмм.
б) Найдите геометрическое место центров параллелограмма $MNPQ$, когда $M$ пробегает отрезок $AA^{\prime}$. (Последовательные вершины параллелограммов обозначены в алфавитном порядке.
Решение:
а) Проведем $BB_{1} \parallel AA^{\prime}$ и $A^{\prime }B_{1} \parallel AB$ (рис.); получим параллелограмм $AA^{\prime }B_{1}B$. Прямая, параллельная $AB$ и проходящая через $M$, пересекает прямую $BB_{1}$ в точке $N_{1}$. Имеем:
$\frac{AM}{MA^{\prime }} = \frac{BN_{1}}{N_{1}B_{1}}$.
Через $N_{1}$ проведем прямую, параллельную $B_{1}B^{\prime }$. Пусть эта прямая пересекает $BB^{\prime }$ в точке $N_{2}$. Из треугольника $BB_{1}B^{\prime}$ получаем: $\frac{|BN_{1}|}{|N_{1}B_{1}|} = \frac{|BN_{2}|}{|B^{\prime}N_{2}|}$, следовательно, $\frac{|BN_{2}|}{|B^{\prime }N_{2}|} = \frac{|AM|}{|MA^{\prime }|}$ и точка $N_{2}$ совпадает с точкой $N$.
Аналогично строим параллелограмм $DD^{\prime }C_{1}C$ и точку $P_{1}$ на $CC_{1}$. Затем проводим $P_{1}P_{2} \parallel C_{1}C^{\prime }$, откуда
$\frac{|DQ|}{|QD^{\prime }|} = \frac{|CP_{1}|}{|P_{1}C_{1}|} = \frac{|CP_{2}|}{|P_{2}C^{\prime }|}$
(теперь и точка $P_{2}$ совпадает с точкой $P$), но $A^{\prime }B_{1}C_{1}D^{\prime }$ — параллелограмм, так как $|A^{\prime }B_{1}| = |AB| = |DC| = |D^{\prime }C_{1}|$ и $A^{\prime }B_{1} \parallel AB, DC \parallel D^{\prime }C_{1}$. Отсюда следует, что $|A^{\prime }D^{\prime }| = |B_{1}C_{1}|, A^{\prime }D^{\prime } \parallel B_{1}C_{1}$ следовательно, $B_{1}C_{1} \parallel B^{\prime }C^{\prime }$ и $|B_{1}C_{1}| = |B^{\prime }C^{\prime }|$.
Тогда $|N_{1}N| = |P_{1}P|$ и $N_{1}N \parallel P_{1}P$, следовательно, $N_{1}NPP_{1}$ и $MNPQ$ — параллелограммы.
б) Вторая часть, очевидно, сводится к нахождению геометрического места середин отрезков $MP$. Теперь выберем $C_{1}$ (рис.) так, чтобы четырехугольник $AA^{\prime}C_{1}C$ был параллелограммом. Прямая, параллельная к прямой $AC$, проведенная через $M$, пересекает $CC_{1}$ в точке $M^{\prime }$ и параллельная к прямой $C_{1}C^{\prime }$ проведенная через $M^{\prime }$ пересекает $CC^{\prime }$ в точке $P_{2}$.
Имеем:
$\frac{|AM|}{|MA^{\prime }|} = \frac{|CM^{\prime }|}{|M^{\prime }C_{1}|} = \frac{|CP_{2}|}{|P_{2}C^{\prime }|}$.
Поэтому $P_{2}$ совпадает с $P$.
Пусть $E$ — середина отрезка $MM^{\prime }$, $F$ — середина отрезка $M^{\prime }P$ и $O$ — середина отрезка $MP$. Имеем, очевидно:
$|EO| = |M^{\prime }F|$; $EO \parallel M^{\prime }F$,
следовательно, $O$ описывает прямую, параллельную медиане, проведенной из вершины $C$ треугольника $CC_{1}C^{\prime }$; эта прямая проходит через середину $AC$ и середину $A^{\prime }C^{\prime }$.
Пусть $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ — два параллелограмма, произвольно расположенные в пространстве, и $M$, $N$, $P$, $Q$ точки, делящие отрезки $AA^{\prime}$, $BB^{\prime}$, $CC^{\prime}$, $DD^{\prime}$ в одинаковом отношении.
а) Докажите, что $MNPQ$ — параллелограмм.
б) Найдите геометрическое место центров параллелограмма $MNPQ$, когда $M$ пробегает отрезок $AA^{\prime}$. (Последовательные вершины параллелограммов обозначены в алфавитном порядке.
Решение:
а) Проведем $BB_{1} \parallel AA^{\prime}$ и $A^{\prime }B_{1} \parallel AB$ (рис.); получим параллелограмм $AA^{\prime }B_{1}B$. Прямая, параллельная $AB$ и проходящая через $M$, пересекает прямую $BB_{1}$ в точке $N_{1}$. Имеем:
$\frac{AM}{MA^{\prime }} = \frac{BN_{1}}{N_{1}B_{1}}$.
Через $N_{1}$ проведем прямую, параллельную $B_{1}B^{\prime }$. Пусть эта прямая пересекает $BB^{\prime }$ в точке $N_{2}$. Из треугольника $BB_{1}B^{\prime}$ получаем: $\frac{|BN_{1}|}{|N_{1}B_{1}|} = \frac{|BN_{2}|}{|B^{\prime}N_{2}|}$, следовательно, $\frac{|BN_{2}|}{|B^{\prime }N_{2}|} = \frac{|AM|}{|MA^{\prime }|}$ и точка $N_{2}$ совпадает с точкой $N$.
Аналогично строим параллелограмм $DD^{\prime }C_{1}C$ и точку $P_{1}$ на $CC_{1}$. Затем проводим $P_{1}P_{2} \parallel C_{1}C^{\prime }$, откуда
$\frac{|DQ|}{|QD^{\prime }|} = \frac{|CP_{1}|}{|P_{1}C_{1}|} = \frac{|CP_{2}|}{|P_{2}C^{\prime }|}$
(теперь и точка $P_{2}$ совпадает с точкой $P$), но $A^{\prime }B_{1}C_{1}D^{\prime }$ — параллелограмм, так как $|A^{\prime }B_{1}| = |AB| = |DC| = |D^{\prime }C_{1}|$ и $A^{\prime }B_{1} \parallel AB, DC \parallel D^{\prime }C_{1}$. Отсюда следует, что $|A^{\prime }D^{\prime }| = |B_{1}C_{1}|, A^{\prime }D^{\prime } \parallel B_{1}C_{1}$ следовательно, $B_{1}C_{1} \parallel B^{\prime }C^{\prime }$ и $|B_{1}C_{1}| = |B^{\prime }C^{\prime }|$.
Тогда $|N_{1}N| = |P_{1}P|$ и $N_{1}N \parallel P_{1}P$, следовательно, $N_{1}NPP_{1}$ и $MNPQ$ — параллелограммы.
б) Вторая часть, очевидно, сводится к нахождению геометрического места середин отрезков $MP$. Теперь выберем $C_{1}$ (рис.) так, чтобы четырехугольник $AA^{\prime}C_{1}C$ был параллелограммом. Прямая, параллельная к прямой $AC$, проведенная через $M$, пересекает $CC_{1}$ в точке $M^{\prime }$ и параллельная к прямой $C_{1}C^{\prime }$ проведенная через $M^{\prime }$ пересекает $CC^{\prime }$ в точке $P_{2}$.
Имеем:
$\frac{|AM|}{|MA^{\prime }|} = \frac{|CM^{\prime }|}{|M^{\prime }C_{1}|} = \frac{|CP_{2}|}{|P_{2}C^{\prime }|}$.
Поэтому $P_{2}$ совпадает с $P$.
Пусть $E$ — середина отрезка $MM^{\prime }$, $F$ — середина отрезка $M^{\prime }P$ и $O$ — середина отрезка $MP$. Имеем, очевидно:
$|EO| = |M^{\prime }F|$; $EO \parallel M^{\prime }F$,
следовательно, $O$ описывает прямую, параллельную медиане, проведенной из вершины $C$ треугольника $CC_{1}C^{\prime }$; эта прямая проходит через середину $AC$ и середину $A^{\prime }C^{\prime }$.
