Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1106
2015-03-14 
На плоскости дан круг $K$ с центром $S$ и радиусом 1 и квадрат с центром $M$ и со стороной, равной 2. Пусть $XY$ - гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $XYZ$. Какую фигуру заполнят вершины $Z$ треугольников $XYZ$, если $X$ пробегает весь круг и $Y$ — весь квадрат $Q$?
Решение:
а) Середина $T$ отрезка $XY$ (рис.) принадлежит, очевидно, кругу, который является образом круга $K$ при гомотетии $H_{y}$ с центром $Y$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$. Круг $K_{y}$ имеет своим центром точку $S_{y}$, которая является серединой отрезка $SY$, и его радиус равен $\frac{1}{2}$. Будем изучать множество всех точек $S_{y}$, когда $Y$ пробегает $Q$. Эти точки заполняют образ $Q^{\prime}$ квадрата $Q$ при гомотетии $H_{0}$ с центром $S$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$. Фигура $Q^{\prime}$, следовательно, есть квадрат, центр $M^{\prime}$ которого есть середина отрезка $SM$, сторона которого равна 1, причем стороны квадрата $Q^{\prime}$ параллельны соответствующим сторонам квадрата $Q$. Круги $K_{y}$ заполняют фигуру $U$.
б) Фиксируем точку $Y$. Точку $Z$ получим теперь из точки $T$, если сделать сначала поворот около $Y$ на $45^{\circ}$ (в положительном или отрицательном направлении) и после этого гомотетию с центром в $Y$ и коэффициентом $\sqrt{2}$; при этих отображениях круг $K_{y}$, которому принадлежит точка $T$, перейдет в круг $K_{y}$; радиус последнего равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, и его центр $S_{y}^{\prime}$ получится как образ центра $S_{y}$ при указанных отображениях. Точка $S_{y}^{\prime}$ является поэтому вершиной равнобедренного прямоугольного треугольника $SYS^{\prime }$ с гипотенузой $SY$. Следовательно, можно получить $S_{y}^{\prime}$ так же, как образ точки $S_{y}$ при последовательном применении двух отображений: поворота около точки $S$ на $45^{\circ}$ (в положительном или отрицательном направлении) и гомотетии с центром в $S$ и коэффициентом $\sqrt{2}$. Эти отображения переводят множество точек $S_{y}$, т. е. квадрат $Q^{\prime }$ в два квадрата $Q_{1}$, $Q_{2}$ со сторонами длины $\sqrt{2}$. Круги $K_{y}^{\prime }$ заполнят тогда фигуры $U_{1}$, $U_{2}$. Каждая из них получится как образ фигуры $U$ при повороте на $45^{\circ}$ (в положительном или отрицательном направлении) около точки $S$ и последующей гомотетии с центром $S$ и коэффициентом $\sqrt{2}$. Фигуры $U_{1}$, $U_{2}$ имеют следующий вид (см. рис.).
Точки $Z$ заполнят, следовательно, фигуры $U_{1}$ и $U_{2}$.
На плоскости дан круг $K$ с центром $S$ и радиусом 1 и квадрат с центром $M$ и со стороной, равной 2. Пусть $XY$ - гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $XYZ$. Какую фигуру заполнят вершины $Z$ треугольников $XYZ$, если $X$ пробегает весь круг и $Y$ — весь квадрат $Q$?
Решение:
а) Середина $T$ отрезка $XY$ (рис.) принадлежит, очевидно, кругу, который является образом круга $K$ при гомотетии $H_{y}$ с центром $Y$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$. Круг $K_{y}$ имеет своим центром точку $S_{y}$, которая является серединой отрезка $SY$, и его радиус равен $\frac{1}{2}$. Будем изучать множество всех точек $S_{y}$, когда $Y$ пробегает $Q$. Эти точки заполняют образ $Q^{\prime}$ квадрата $Q$ при гомотетии $H_{0}$ с центром $S$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$. Фигура $Q^{\prime}$, следовательно, есть квадрат, центр $M^{\prime}$ которого есть середина отрезка $SM$, сторона которого равна 1, причем стороны квадрата $Q^{\prime}$ параллельны соответствующим сторонам квадрата $Q$. Круги $K_{y}$ заполняют фигуру $U$.
б) Фиксируем точку $Y$. Точку $Z$ получим теперь из точки $T$, если сделать сначала поворот около $Y$ на $45^{\circ}$ (в положительном или отрицательном направлении) и после этого гомотетию с центром в $Y$ и коэффициентом $\sqrt{2}$; при этих отображениях круг $K_{y}$, которому принадлежит точка $T$, перейдет в круг $K_{y}$; радиус последнего равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, и его центр $S_{y}^{\prime}$ получится как образ центра $S_{y}$ при указанных отображениях. Точка $S_{y}^{\prime}$ является поэтому вершиной равнобедренного прямоугольного треугольника $SYS^{\prime }$ с гипотенузой $SY$. Следовательно, можно получить $S_{y}^{\prime}$ так же, как образ точки $S_{y}$ при последовательном применении двух отображений: поворота около точки $S$ на $45^{\circ}$ (в положительном или отрицательном направлении) и гомотетии с центром в $S$ и коэффициентом $\sqrt{2}$. Эти отображения переводят множество точек $S_{y}$, т. е. квадрат $Q^{\prime }$ в два квадрата $Q_{1}$, $Q_{2}$ со сторонами длины $\sqrt{2}$. Круги $K_{y}^{\prime }$ заполнят тогда фигуры $U_{1}$, $U_{2}$. Каждая из них получится как образ фигуры $U$ при повороте на $45^{\circ}$ (в положительном или отрицательном направлении) около точки $S$ и последующей гомотетии с центром $S$ и коэффициентом $\sqrt{2}$. Фигуры $U_{1}$, $U_{2}$ имеют следующий вид (см. рис.).
Точки $Z$ заполнят, следовательно, фигуры $U_{1}$ и $U_{2}$.
