Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1103
2015-03-10 
Пусть $a_{1} > 0, a_{2} > 0, \cdots, a_{n} > 0$. Докажите неравенство
$C_{n}^{2} \left ( \frac{1}{a_{1}a_{2}} + \frac{1}{a_{1}a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{1}a_{n}} + \frac{1}{a_{2}a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{2}a_{n}} + \cdots + \frac{1}{a_{n-1}a_{n}} \right ) \geq 4 \left (\frac{1}{a_{1}+a_{2}} + \frac{1}{a_{1}+a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{1}+a_{n}} + \frac{1}{a_{2}+a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{2}+a_{n}} + \cdots + \frac{1}{a_{n-1}+a_{n}} \right )^{2}$
и найдите условие, которому должны удовлетворять числа $a_{i} (i=1,2, \cdots, n)$, чтобы имело место равенство.
Решение:
Пусть натуральные числа $i, j, k, l$ удовлетворяют условиям $1 \leq i < j \leq n, 1 \leq k < l \leq n$.
Тогда
$\frac{1}{a_{i}a_{j}} \geq \frac{4}{(a_{i} + a_{j})^{2}}$; (1)
$\frac{1}{a_{i}a_{j}} + \frac{1}{a_{k}a_{l}} = 4 \frac{2}{(a_{i}+a_{j})(a_{k}+a_{l})}$ (2).
Неравенства (1) к (2) следуют из неравенств:
$ab \leq \frac{(a+b)^{2}}{4}; a+b \geq 2 \sqrt{ab},$ где $a \geq 0, b \geq 0$.
Сложив все неравенства (1) и (2), получим заданное неравенство.
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда
$\frac{1}{a_{i}a_{j}} = \frac{4}{(a_{i}+a_{j})^{2}}$; (1)
$\frac{1}{a_{i}a_{j}} + \frac{1}{a_{k}a_{l}} = 4 \frac{2}{(a_{i}+a_{j})(a_{k}+a_{l})}$, (2)
Т.е. когда $a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{n}$.
Пусть $a_{1} > 0, a_{2} > 0, \cdots, a_{n} > 0$. Докажите неравенство
$C_{n}^{2} \left ( \frac{1}{a_{1}a_{2}} + \frac{1}{a_{1}a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{1}a_{n}} + \frac{1}{a_{2}a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{2}a_{n}} + \cdots + \frac{1}{a_{n-1}a_{n}} \right ) \geq 4 \left (\frac{1}{a_{1}+a_{2}} + \frac{1}{a_{1}+a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{1}+a_{n}} + \frac{1}{a_{2}+a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{2}+a_{n}} + \cdots + \frac{1}{a_{n-1}+a_{n}} \right )^{2}$
и найдите условие, которому должны удовлетворять числа $a_{i} (i=1,2, \cdots, n)$, чтобы имело место равенство.
Решение:
Пусть натуральные числа $i, j, k, l$ удовлетворяют условиям $1 \leq i < j \leq n, 1 \leq k < l \leq n$.
Тогда
$\frac{1}{a_{i}a_{j}} \geq \frac{4}{(a_{i} + a_{j})^{2}}$; (1)
$\frac{1}{a_{i}a_{j}} + \frac{1}{a_{k}a_{l}} = 4 \frac{2}{(a_{i}+a_{j})(a_{k}+a_{l})}$ (2).
Неравенства (1) к (2) следуют из неравенств:
$ab \leq \frac{(a+b)^{2}}{4}; a+b \geq 2 \sqrt{ab},$ где $a \geq 0, b \geq 0$.
Сложив все неравенства (1) и (2), получим заданное неравенство.
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда
$\frac{1}{a_{i}a_{j}} = \frac{4}{(a_{i}+a_{j})^{2}}$; (1)
$\frac{1}{a_{i}a_{j}} + \frac{1}{a_{k}a_{l}} = 4 \frac{2}{(a_{i}+a_{j})(a_{k}+a_{l})}$, (2)
Т.е. когда $a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{n}$.
