Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1102
2015-03-10 
Определите цифры $x$, $y$, $z$, если известно, что равенство
$\sqrt{\underbrace{\overline{xx \cdots x}}_{2n \text{цифр}} - \underbrace{\overline{yy \cdots y}}_{n \text{цифр}}} = \underbrace{\overline{zz \cdots x}}_{n \text{цифр}}$
имеет место по крайней мере для двух различных значений натурального числа $n$. Найдите все значения $n$, для которых это равенство остается справедливым.
Решение:
Пусть $n$ — любое натуральное число, для которого выполнено условие задачи. Тогда получим:
$x \cdot \overline{\underbrace{111 \cdots 1}_{2n \text{цифр}}} – y \cdot \overline{\underbrace{111 \cdots 1}_{n \text{цифр}}} = z^{2} (\overline{\underbrace{111 \cdots 1}_{n \text{цифр}}})^{2}$ (1)
Имея в виду, что для любого натурального $k$
$10^{k-1} + 10^{k-2}+ \cdots + 10 + 1 = \frac{10^{k}-1}{10-1}$,
из (1) получим:
$x \cdot \frac{10^{2n} - 1}{9} – y \frac{10^{n} - 1}{9} = z^{2} \frac{(10^{n} - 1)^{2}}{9^{2}}$.
Отсюда, после сокращения на $10^{n} - 1$ и освобождения от знаменателя, получим
$9(10^{x} + 1)x – 9y = (10^{n} - 1)z^{2}$,
или, что то же,
$(9x – z^{2})10^{n} = 9y-9x-z^{2}$. (2)
Согласно условию существуют натуральные числа $n_{1} \neq n_{2}$, для которых выполнено (1), а следовательно, и (2), т. е.
$(9x – z^{2}) 10^{n_{1}} = 9y – 9x – z^{2}; (9x – z^{2})10^{n_{2}} = 9y – 9x –z^{2}$.
Вычитая эти равенства, получим:
$(9x-z^{2})(10^{n_{1}} – 10^{n_{2}}) = 0$.
Но так как $10^{n_{1}} – 10^{n_{2}} \neq 0$, то следует, что
$9x – z^{2} = 0$. (3)
Подстановкой из (3) в (2) находим, что
$9y – 9x – z^{2} = 0$. (4)
Из (3) и (4) следует, что
$x=k^{2}; y =2k^{2}; z=3k$, где $ks$ — целое.
Ввиду того что $0 < x, y, z \leq 9$, получим два решения:
$x - 1 - 4$
$y - 2 - 8$
$z - 3 - 6$
Если $(x,y,z)$ — любое решение, то для каждого $$ выполнено (2), а следовательно, и (1). Иными словами, данное равенство выполнено для всех натуральных $n$.
Определите цифры $x$, $y$, $z$, если известно, что равенство
$\sqrt{\underbrace{\overline{xx \cdots x}}_{2n \text{цифр}} - \underbrace{\overline{yy \cdots y}}_{n \text{цифр}}} = \underbrace{\overline{zz \cdots x}}_{n \text{цифр}}$
имеет место по крайней мере для двух различных значений натурального числа $n$. Найдите все значения $n$, для которых это равенство остается справедливым.
Решение:
Пусть $n$ — любое натуральное число, для которого выполнено условие задачи. Тогда получим:
$x \cdot \overline{\underbrace{111 \cdots 1}_{2n \text{цифр}}} – y \cdot \overline{\underbrace{111 \cdots 1}_{n \text{цифр}}} = z^{2} (\overline{\underbrace{111 \cdots 1}_{n \text{цифр}}})^{2}$ (1)
Имея в виду, что для любого натурального $k$
$10^{k-1} + 10^{k-2}+ \cdots + 10 + 1 = \frac{10^{k}-1}{10-1}$,
из (1) получим:
$x \cdot \frac{10^{2n} - 1}{9} – y \frac{10^{n} - 1}{9} = z^{2} \frac{(10^{n} - 1)^{2}}{9^{2}}$.
Отсюда, после сокращения на $10^{n} - 1$ и освобождения от знаменателя, получим
$9(10^{x} + 1)x – 9y = (10^{n} - 1)z^{2}$,
или, что то же,
$(9x – z^{2})10^{n} = 9y-9x-z^{2}$. (2)
Согласно условию существуют натуральные числа $n_{1} \neq n_{2}$, для которых выполнено (1), а следовательно, и (2), т. е.
$(9x – z^{2}) 10^{n_{1}} = 9y – 9x – z^{2}; (9x – z^{2})10^{n_{2}} = 9y – 9x –z^{2}$.
Вычитая эти равенства, получим:
$(9x-z^{2})(10^{n_{1}} – 10^{n_{2}}) = 0$.
Но так как $10^{n_{1}} – 10^{n_{2}} \neq 0$, то следует, что
$9x – z^{2} = 0$. (3)
Подстановкой из (3) в (2) находим, что
$9y – 9x – z^{2} = 0$. (4)
Из (3) и (4) следует, что
$x=k^{2}; y =2k^{2}; z=3k$, где $ks$ — целое.
Ввиду того что $0 < x, y, z \leq 9$, получим два решения:
$x - 1 - 4$
$y - 2 - 8$
$z - 3 - 6$
Если $(x,y,z)$ — любое решение, то для каждого $$ выполнено (2), а следовательно, и (1). Иными словами, данное равенство выполнено для всех натуральных $n$.
