Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1101
2015-03-10 
Существует ли натуральное число $z$, которое можно двумя различными способами записать в виде $z=x! + y!$, где $x$, $y$ — натуральные числа, удовлетворяющие неравенству $x \leq y$?
Решение:
Пусть для натурального $n$ имеются натуральные числа:
$x_{1} \leq y_{1}$, $x_{2} \leq y_{2}$, такие, что
$z = x_{1}! + y_{1}! = x_{2}! + y_{2}!$. (1)
Мы можем предполагать, что $x_{1} < x_{2}$ (иначе мы изменили бы нумерацию). Тогда не может быть $y_{1} < x_{2}$, так как в этом случае мы имели бы
$x_{1}! + y_{1}! < x_{2}! + x_{2}! \leq x_{1}! + y_{2}!$,
что противоречит (1).
Поэтому
$y_{1} \geq x_{2}$;
для $x_{2}$ имеем тогда $x_{2} \leq y_{2}, x_{2} \leq y_{1}$, поэтому число
$x_{2}! + y_{2}!-y_{1}!$
делится без остатка на $x_{1}!$. Вследствие (1) также число $x_{1}!$ делится без остатка на $x_{2}!$, что противоречит предположению $0 < x_{1} < x_{2}$. Утверждение доказано.
Существует ли натуральное число $z$, которое можно двумя различными способами записать в виде $z=x! + y!$, где $x$, $y$ — натуральные числа, удовлетворяющие неравенству $x \leq y$?
Решение:
Пусть для натурального $n$ имеются натуральные числа:
$x_{1} \leq y_{1}$, $x_{2} \leq y_{2}$, такие, что
$z = x_{1}! + y_{1}! = x_{2}! + y_{2}!$. (1)
Мы можем предполагать, что $x_{1} < x_{2}$ (иначе мы изменили бы нумерацию). Тогда не может быть $y_{1} < x_{2}$, так как в этом случае мы имели бы
$x_{1}! + y_{1}! < x_{2}! + x_{2}! \leq x_{1}! + y_{2}!$,
что противоречит (1).
Поэтому
$y_{1} \geq x_{2}$;
для $x_{2}$ имеем тогда $x_{2} \leq y_{2}, x_{2} \leq y_{1}$, поэтому число
$x_{2}! + y_{2}!-y_{1}!$
делится без остатка на $x_{1}!$. Вследствие (1) также число $x_{1}!$ делится без остатка на $x_{2}!$, что противоречит предположению $0 < x_{1} < x_{2}$. Утверждение доказано.
