Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1100
2015-03-10 
Сколько действительных решений имеет уравнение
$x=1964 \sin x - 189$?
Решение:
Положим: $f(x) = \frac{x + 189}{1964}; g(x) = \sin x$, откуда видно, что $f(x)$ — монотонная функция, a $|g{x}| \leq 1$.
Решениями данного уравнения являются те и только те действительные числа $\xi$, для которых $f(\xi) = g(\xi)$.
Пусть $f(a) = - 1$, а $f(b) = 1$, тогда $a = -2153; b= 1775$
$f(c) =0$ при $c = -189$.
На $[0; 1775]$ укладывается 282 интервала длины $2 \pi$. На $[—2153; 0]$ укладывается 342 интервала длины $2 \pi$. Рассмотрим отрезок $[0; 1775]$. На этом отрезке $f(x) > 0$ и на каждом интервале длины $2 \pi$ прямая $f(x) = y$ пересекает $y = \sin x$ в двух точках.
На части 283-го интервала, попадающей в $[0; 1775]$, $f(x)$ принимает значение, равное единице справа от $\xi$, где $g( \xi) = 1$, поэтому на этом интервале имеются еще две точки пересечения. Итак, на $[0; 1775]$ имеется $282 \cdot 2 + 2 = 566$ решений уравнения.
Отрезок $[0; —2153]$ разобьем на два отрезка $[0; —1891]$ и $[—189; —2153]$, на $[0; —189]$ содержится $30,06 \cdots$ интервалов длины $2 \pi$, где $f(x) > 0$. Поэтому имеется 60 точек пересечения.
На 31-м интервале функция $f(x)$ меняет знак, и равенство $f(\xi) = g( \xi)$ имеет место только в одной точке. На остальных 311 интервалах $y =f(x) < 0$, и поэтому на каждом интервале две точки пересечения. На оставшейся части 343 интервала укладывается более половины синусоиды, где $-1 \leq \sin x < 0$ и $-1 < f(x) < 0$, и поэтому там имеется еще две точки пересечения. Итак, всего слева от нуля имеется 685 точек пересечения.
Всего уравнение имеет 1251 решение.
Сколько действительных решений имеет уравнение
$x=1964 \sin x - 189$?
Решение:
Положим: $f(x) = \frac{x + 189}{1964}; g(x) = \sin x$, откуда видно, что $f(x)$ — монотонная функция, a $|g{x}| \leq 1$.
Решениями данного уравнения являются те и только те действительные числа $\xi$, для которых $f(\xi) = g(\xi)$.
Пусть $f(a) = - 1$, а $f(b) = 1$, тогда $a = -2153; b= 1775$
$f(c) =0$ при $c = -189$.
На $[0; 1775]$ укладывается 282 интервала длины $2 \pi$. На $[—2153; 0]$ укладывается 342 интервала длины $2 \pi$. Рассмотрим отрезок $[0; 1775]$. На этом отрезке $f(x) > 0$ и на каждом интервале длины $2 \pi$ прямая $f(x) = y$ пересекает $y = \sin x$ в двух точках.
На части 283-го интервала, попадающей в $[0; 1775]$, $f(x)$ принимает значение, равное единице справа от $\xi$, где $g( \xi) = 1$, поэтому на этом интервале имеются еще две точки пересечения. Итак, на $[0; 1775]$ имеется $282 \cdot 2 + 2 = 566$ решений уравнения.
Отрезок $[0; —2153]$ разобьем на два отрезка $[0; —1891]$ и $[—189; —2153]$, на $[0; —189]$ содержится $30,06 \cdots$ интервалов длины $2 \pi$, где $f(x) > 0$. Поэтому имеется 60 точек пересечения.
На 31-м интервале функция $f(x)$ меняет знак, и равенство $f(\xi) = g( \xi)$ имеет место только в одной точке. На остальных 311 интервалах $y =f(x) < 0$, и поэтому на каждом интервале две точки пересечения. На оставшейся части 343 интервала укладывается более половины синусоиды, где $-1 \leq \sin x < 0$ и $-1 < f(x) < 0$, и поэтому там имеется еще две точки пересечения. Итак, всего слева от нуля имеется 685 точек пересечения.
Всего уравнение имеет 1251 решение.
