Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 110
2014-06-07 
Доказать, что любое число $n \in \mathbf{N}$, большее 32, представимо в виде суммы нескольких натуральных чисел, сумма обратных величин которых равна 1.
Указание. Значения $n = 33, 34, 35, \cdots 73$ требуемому условию удовлетворяют.
Решение:
Заметим, что если число $n$ удовлетворяет условию задачи, to числа $2n+2$ и $2n +9$ тоже ему удовлетворяют. Действительно, если
$n = a_{1} + a_{2}+ \cdots + a_{k}$,
где
$a_{1},a_{2}, \cdots, a_{k} \in \mathbf{N}$ и $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{k}}= 1$,
то
$2n + 2 = 2a_{1} + 2a_{2} + \cdots + 2a_{k} + 2$,
причем
$\frac{1}{2a_{1}}+ \cdots + \cdots \frac{1}{2a_{k}} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{a_{1}} + \cdots + \frac{1}{a_{k}}\right ) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
и
$2n+9=2a_{1}+ \cdots + 2a_{k} + 3 +6$,
причем
$\frac{1}{2a_{1}}+ \cdots + \cdots \frac{1}{2a_{k}} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \left (\frac{1}{a_{1}} + \cdots + \frac{1}{a_{k}} \right ) + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{6} = 1$.
Теперь докажем по индукции, что все числа $n \geq 33$ удовлетворяют условию задачи. Числа $33, \cdots , 73$ обладают нужным свойством. Пусть уже известно, что этим свойством обладают все числа от 33 до $n – 1$, где $n > 73$. Если число $n$ четно, то оно представимо в виде $2m+2$, а если нечетно - то в виде $2m + 9$, где $m \in \mathbf{N}, n > m \geq (74 - 9)/2 > 32$. В обоих случаях, согласно доказанному выше, число $n$ удовлетворяет условию задачи, поскольку число $m$ этому условию удовлетворяет. Утверждение доказано.
Доказать, что любое число $n \in \mathbf{N}$, большее 32, представимо в виде суммы нескольких натуральных чисел, сумма обратных величин которых равна 1.
Указание. Значения $n = 33, 34, 35, \cdots 73$ требуемому условию удовлетворяют.
Решение:
Заметим, что если число $n$ удовлетворяет условию задачи, to числа $2n+2$ и $2n +9$ тоже ему удовлетворяют. Действительно, если
$n = a_{1} + a_{2}+ \cdots + a_{k}$,
где
$a_{1},a_{2}, \cdots, a_{k} \in \mathbf{N}$ и $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{k}}= 1$,
то
$2n + 2 = 2a_{1} + 2a_{2} + \cdots + 2a_{k} + 2$,
причем
$\frac{1}{2a_{1}}+ \cdots + \cdots \frac{1}{2a_{k}} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{a_{1}} + \cdots + \frac{1}{a_{k}}\right ) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
и
$2n+9=2a_{1}+ \cdots + 2a_{k} + 3 +6$,
причем
$\frac{1}{2a_{1}}+ \cdots + \cdots \frac{1}{2a_{k}} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \left (\frac{1}{a_{1}} + \cdots + \frac{1}{a_{k}} \right ) + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{6} = 1$.
Теперь докажем по индукции, что все числа $n \geq 33$ удовлетворяют условию задачи. Числа $33, \cdots , 73$ обладают нужным свойством. Пусть уже известно, что этим свойством обладают все числа от 33 до $n – 1$, где $n > 73$. Если число $n$ четно, то оно представимо в виде $2m+2$, а если нечетно - то в виде $2m + 9$, где $m \in \mathbf{N}, n > m \geq (74 - 9)/2 > 32$. В обоих случаях, согласно доказанному выше, число $n$ удовлетворяет условию задачи, поскольку число $m$ этому условию удовлетворяет. Утверждение доказано.
