Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1096
2015-03-10 
Пусть $m$ — выпуклый плоский многоугольник, периметр которого $l$, а площадь $S$. $M(R)$ — множество точек пространства, удаленных от $m$ на расстояние не более $R$, $V(R)$ — объем тела $M(R)$.
Докажите, что $V(R) = \left ( \frac{4}{3} \pi \right ) R^{3} + \left ( \frac{ \pi}{2} l \right ) R^{2} + (2S)R$.
Точка $C$ удалена от фигуры $m$ на расстояние не более $R$, т. е. $C$ принадлежит $M(R)$, если у фигуры $m$ найдется точка $D$, расстояние от которой до $C$ не превышает $R$.
Решение:
Пусть вершины многоугольника $m$ отмечены буквами $A, B, \cdots, F$ (рис. ). Проведем в плоскости многоугольника к каждой вершине во внешнюю сторону по перпендикуляру к каждой из двух сходящихся в этой вершине сторон. Тогда плоскость многоугольника разобьется на следующие части:
1. Сам многоугольник $AB \cdots F$.
2. «Полуполосы» $AB, \cdots, FA$.
3. «Углы» $A_{c}, B_{c}, \cdots, F_{c}$.
Теперь осуществим следующее построение в пространстве. Построим на многоугольнике $AB \cdots F$ по обе стороны от плоскости по прямоугольной призме высоты $R$ каждая. Боковые грани получившейся удвоенной призмы заложим половинками прямых круговых цилиндров радиуса $R$ и с высотой, равной соответствующей стороне; ось такого цилиндра будет совпадать со стороной многоугольника. Наконец, основания цилиндров заложим «дольками» шара. Для этого возьмем шар радиуса $R$ и направим его диаметр перпендикулярно плоскости $m$. Затем проведем через эту ось полуплоскости, перпендикулярные сторонам многоугольника. «Дольку», вырезанную полуплоскостями, перпендикулярными соседним сторонам, например $FA$ и $AB$, параллельно переносим в соответствующий «угол», у нас — в $A_{c}$. Образовавшееся тело $M$ и будет искомым $M(R)$. Его проекция на плоскость многоугольника изображена на чертеже. Она состоит из самого многоугольника—проекции призмы, прямоугольников в каждой «полуполосе» высоты $R$, примыкающих к многоугольнику по целой стороне, и круговых секторов в каждом «углу». Угол при вершине сектора $A_{c}$, т. е. $\hat{A_{c}} = \pi - \hat{A}$, где $\angle A$ — угол многоугольника. Заметим, что в силу выпуклости $m$ и все эти «углы» имеют положительную величину, т. е. соседние «полуполосы» не накладываются друг на друга, а раз проекции не пересекаются, то не пересекаются и сами соответствующие тела. Вычислим объем. Объем двойной призмы равен $2RS$.
Объем всех полуцилиндров равен
$\frac{1}{2} \pi R^{2} (|AB| + \cdots + |FA|) = \frac{1}{2} \pi lR^{2}$.
Объем шаровой «дольки», очевидно, прямо пропорционален раствору — углу между ограничивающими плоскостями.
Отсюда их суммарный объем
$\frac{2}{3} R^{3} (\hat{A_{c}} + \hat{B_{c}} + \cdots + \hat{F_{x}}) = \frac{2}{3} R^{3} (n \pi – (\hat{A} + \hat{B} + \cdots + \hat{F})) = \frac{4}{3} \pi R^{3}$
(т. е. он равен объему шара радиуса $R$). Окончательно
$V = \left ( \frac{4}{3} \pi \right ) R^{3} + \left ( \frac{1}{2} \pi l \right ) R^{2} + (2S) R$.
Осталось проверить, что $V = V(R)$, т. е. наше тело и есть $M(R)$. В одну сторону включение очевидно. Всякая точка призмы (высоты $R$) удалена от своей проекции на основание на расстояние не больше $R$, всякая точка цилиндра (радиуса $R$) удалена от его оси (стороны многоугольника) на расстояние не больше $R$, наконец, всякая точка шара (радиуса $R$) удалена от центра (вершины многоугольника) на расстояние не больше $R$. Наоборот, пусть теперь точка $X$ принадлежит $M(R)$ и пусть $Y$ — точка $m$, такая, что расстояние $|XY| \leq R$. Опустим из $X$ перпендикуляр на плоскость $m$, пусть $Z$ — его основание. Возможны три случая.
1°. $Z$ также принадлежит $m$.
2°. $Z$ принадлежит «полуполосе», для определенности $AB$.
3°. $Z$ принадлежит «углу», для определенности $A$.
В случае 1° $|XZ| \leq |XY| \leq R$ значит, $X$ лежит в призме. В случае 2° проведем через $Z$ перпендикуляр к $AB$ и пусть $Z_{1}$ — его основание. Очевидно, $Z_{1}$ лежит на отрезке $AB$ и $XZ \perp AB$ по теореме о трех перпендикулярах. $Z_{1}$ — ближайшая к $Z$ точка многоугольника $m$. Очевидно, что другие точки отрезка $AB$ и всей прямой $AB$ лежат только дальше. Остальные же точки $m$ отделены от точки $Z$ прямой $AB$ и, следовательно, лежат еще дальше. Таким образом, из всех наклонных, проведенных из $X$ в точки $m$, наклонная $XZ_{1}$ имеет наименьшую проекцию. Следовательно, из всех таких наклонных она имеет наименьшую длину $|XZ_{1}| \leq |XZ| \leq R$, точка $X$ лежит на луче $Z_{1}X \perp AB$ на расстоянии меньше $R$ от оси, т. е. внутри соответствующего полуцилиндра.
В случае 3° рассмотрим $\triangle ZAY$. Его $\angle ZAY$ заведомо тупой (при $Y \not \equiv A$), ибо в силу выпуклости $m$ точка $Y$ лежит внутри угла $A < 180^{\circ}$, образованного лучами $AB$ и $AF$, а точка $Z$ по предположению лежит между внешними перпендикулярами к ним. Отсюда $|ZA| \leq |ZY|$ и, следовательно, $|XA| \leq |XY| \leq R$, т. е. $X$ лежит внутри соответствующей «дольки» шара.
Итак, $M=M(R)$.
Пусть $m$ — выпуклый плоский многоугольник, периметр которого $l$, а площадь $S$. $M(R)$ — множество точек пространства, удаленных от $m$ на расстояние не более $R$, $V(R)$ — объем тела $M(R)$.
Докажите, что $V(R) = \left ( \frac{4}{3} \pi \right ) R^{3} + \left ( \frac{ \pi}{2} l \right ) R^{2} + (2S)R$.
Точка $C$ удалена от фигуры $m$ на расстояние не более $R$, т. е. $C$ принадлежит $M(R)$, если у фигуры $m$ найдется точка $D$, расстояние от которой до $C$ не превышает $R$.
Решение:
Пусть вершины многоугольника $m$ отмечены буквами $A, B, \cdots, F$ (рис. ). Проведем в плоскости многоугольника к каждой вершине во внешнюю сторону по перпендикуляру к каждой из двух сходящихся в этой вершине сторон. Тогда плоскость многоугольника разобьется на следующие части:
1. Сам многоугольник $AB \cdots F$.
2. «Полуполосы» $AB, \cdots, FA$.
3. «Углы» $A_{c}, B_{c}, \cdots, F_{c}$.
Теперь осуществим следующее построение в пространстве. Построим на многоугольнике $AB \cdots F$ по обе стороны от плоскости по прямоугольной призме высоты $R$ каждая. Боковые грани получившейся удвоенной призмы заложим половинками прямых круговых цилиндров радиуса $R$ и с высотой, равной соответствующей стороне; ось такого цилиндра будет совпадать со стороной многоугольника. Наконец, основания цилиндров заложим «дольками» шара. Для этого возьмем шар радиуса $R$ и направим его диаметр перпендикулярно плоскости $m$. Затем проведем через эту ось полуплоскости, перпендикулярные сторонам многоугольника. «Дольку», вырезанную полуплоскостями, перпендикулярными соседним сторонам, например $FA$ и $AB$, параллельно переносим в соответствующий «угол», у нас — в $A_{c}$. Образовавшееся тело $M$ и будет искомым $M(R)$. Его проекция на плоскость многоугольника изображена на чертеже. Она состоит из самого многоугольника—проекции призмы, прямоугольников в каждой «полуполосе» высоты $R$, примыкающих к многоугольнику по целой стороне, и круговых секторов в каждом «углу». Угол при вершине сектора $A_{c}$, т. е. $\hat{A_{c}} = \pi - \hat{A}$, где $\angle A$ — угол многоугольника. Заметим, что в силу выпуклости $m$ и все эти «углы» имеют положительную величину, т. е. соседние «полуполосы» не накладываются друг на друга, а раз проекции не пересекаются, то не пересекаются и сами соответствующие тела. Вычислим объем. Объем двойной призмы равен $2RS$.
Объем всех полуцилиндров равен
$\frac{1}{2} \pi R^{2} (|AB| + \cdots + |FA|) = \frac{1}{2} \pi lR^{2}$.
Объем шаровой «дольки», очевидно, прямо пропорционален раствору — углу между ограничивающими плоскостями.
Отсюда их суммарный объем
$\frac{2}{3} R^{3} (\hat{A_{c}} + \hat{B_{c}} + \cdots + \hat{F_{x}}) = \frac{2}{3} R^{3} (n \pi – (\hat{A} + \hat{B} + \cdots + \hat{F})) = \frac{4}{3} \pi R^{3}$
(т. е. он равен объему шара радиуса $R$). Окончательно
$V = \left ( \frac{4}{3} \pi \right ) R^{3} + \left ( \frac{1}{2} \pi l \right ) R^{2} + (2S) R$.
Осталось проверить, что $V = V(R)$, т. е. наше тело и есть $M(R)$. В одну сторону включение очевидно. Всякая точка призмы (высоты $R$) удалена от своей проекции на основание на расстояние не больше $R$, всякая точка цилиндра (радиуса $R$) удалена от его оси (стороны многоугольника) на расстояние не больше $R$, наконец, всякая точка шара (радиуса $R$) удалена от центра (вершины многоугольника) на расстояние не больше $R$. Наоборот, пусть теперь точка $X$ принадлежит $M(R)$ и пусть $Y$ — точка $m$, такая, что расстояние $|XY| \leq R$. Опустим из $X$ перпендикуляр на плоскость $m$, пусть $Z$ — его основание. Возможны три случая.
1°. $Z$ также принадлежит $m$.
2°. $Z$ принадлежит «полуполосе», для определенности $AB$.
3°. $Z$ принадлежит «углу», для определенности $A$.
В случае 1° $|XZ| \leq |XY| \leq R$ значит, $X$ лежит в призме. В случае 2° проведем через $Z$ перпендикуляр к $AB$ и пусть $Z_{1}$ — его основание. Очевидно, $Z_{1}$ лежит на отрезке $AB$ и $XZ \perp AB$ по теореме о трех перпендикулярах. $Z_{1}$ — ближайшая к $Z$ точка многоугольника $m$. Очевидно, что другие точки отрезка $AB$ и всей прямой $AB$ лежат только дальше. Остальные же точки $m$ отделены от точки $Z$ прямой $AB$ и, следовательно, лежат еще дальше. Таким образом, из всех наклонных, проведенных из $X$ в точки $m$, наклонная $XZ_{1}$ имеет наименьшую проекцию. Следовательно, из всех таких наклонных она имеет наименьшую длину $|XZ_{1}| \leq |XZ| \leq R$, точка $X$ лежит на луче $Z_{1}X \perp AB$ на расстоянии меньше $R$ от оси, т. е. внутри соответствующего полуцилиндра.
В случае 3° рассмотрим $\triangle ZAY$. Его $\angle ZAY$ заведомо тупой (при $Y \not \equiv A$), ибо в силу выпуклости $m$ точка $Y$ лежит внутри угла $A < 180^{\circ}$, образованного лучами $AB$ и $AF$, а точка $Z$ по предположению лежит между внешними перпендикулярами к ним. Отсюда $|ZA| \leq |ZY|$ и, следовательно, $|XA| \leq |XY| \leq R$, т. е. $X$ лежит внутри соответствующей «дольки» шара.
Итак, $M=M(R)$.
