Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1095
2015-03-10 
Докажите неравенство
$tg \left ( \frac{\pi \sin x}{4 \sin \alpha} \right ) + tg \left ( \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \right ) > 1$
для всех значений $x$ и $\alpha$, удовлетворяющих условиям
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \frac{ \pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.
Решение:
В силу условия $\frac{ \pi}{6} < \alpha < \frac{ \pi}{3} \frac{1}{\sin \alpha} < 2$ и $ \frac{1}{ \cos \alpha} < 2$, так что $0 \leq \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \leq \frac{\pi}{ 4 \cos \alpha} < \frac{ \pi}{2}$ и $0 \leq \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \leq \frac{\pi}{4 \cos \alpha} < \frac{\pi}{2}$ и оба тангенса — положительны.
Если $x < \alpha$, то
$tg \left ( \frac{\pi \sin x}{4 \sin \alpha} \right ) + tg \left ( \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \right ) \geq tg \left ( \frac{\pi \cos x}{ 4 \cos \alpha} \right ) > 1 = tg \left ( \frac{\pi \cos \alpha}{4 \cos \alpha} \right )$.
Если $x = \alpha$, то $tg \left ( \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} \right ) + tg \left ( \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} \right ) = 2 > 1$.
Если $x > \alpha$, то
$tg \left ( \frac{\pi \sin x}{4 \sin \alpha} \right ) + tg \left( \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \right ) \geq tg \left ( \frac{\pi \sin x}{4 \sin \alpha} \right ) > 1 = tg \left ( \frac{\pi \sin \alpha}{4 \sin \alpha} \right )$.
Докажите неравенство
$tg \left ( \frac{\pi \sin x}{4 \sin \alpha} \right ) + tg \left ( \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \right ) > 1$
для всех значений $x$ и $\alpha$, удовлетворяющих условиям
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \frac{ \pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.
Решение:
В силу условия $\frac{ \pi}{6} < \alpha < \frac{ \pi}{3} \frac{1}{\sin \alpha} < 2$ и $ \frac{1}{ \cos \alpha} < 2$, так что $0 \leq \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \leq \frac{\pi}{ 4 \cos \alpha} < \frac{ \pi}{2}$ и $0 \leq \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \leq \frac{\pi}{4 \cos \alpha} < \frac{\pi}{2}$ и оба тангенса — положительны.
Если $x < \alpha$, то
$tg \left ( \frac{\pi \sin x}{4 \sin \alpha} \right ) + tg \left ( \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \right ) \geq tg \left ( \frac{\pi \cos x}{ 4 \cos \alpha} \right ) > 1 = tg \left ( \frac{\pi \cos \alpha}{4 \cos \alpha} \right )$.
Если $x = \alpha$, то $tg \left ( \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} \right ) + tg \left ( \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} \right ) = 2 > 1$.
Если $x > \alpha$, то
$tg \left ( \frac{\pi \sin x}{4 \sin \alpha} \right ) + tg \left( \frac{\pi \cos x}{4 \cos \alpha} \right ) \geq tg \left ( \frac{\pi \sin x}{4 \sin \alpha} \right ) > 1 = tg \left ( \frac{\pi \sin \alpha}{4 \sin \alpha} \right )$.
