Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1094
2015-03-10 
В плоскости даны 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что среди этих точек существуют такие 4 точки, которые являются вершинами выпуклого четырехугольника.
Решение:
Рассмотрим все треугольники с вершинами в данных точках. Выберем из них тот (или один из тех), в который попадает наибольшее число точек. Обозначим его $ABC$. Проведем прямые $AB$, $BC$ и $CA$. Они разбивают плоскость на области трех типов: I — треугольник, II — углы и III — открытые треугольники (рис.).
а) Если хотя бы одна точка $D$ лежит внутри открытого треугольника (для определенности с основанием $AB$), то четырехугольник $ABCD$ выпуклый.
б) Если обе точки $D$ и $E$ (см. рис.) лежат внутри треугольника, то прямая $DE$ пересекает только две стороны треугольника (для определенности $AB$ и $BC$). Прямая $DE$ не может согласно условию проходить через вершину треугольника. Итак, точки $ADEC$ образуют выпуклый четырехугольник.
в) Внутри углов точек быть не может по построению $\triangle ABC$. Если бы точка $D$ оказалась внутри угла, скажем угла $B$, то $\triangle ADC$ содержал бы $\triangle ABC$ и тем самым большее число точек внутри себя.
В плоскости даны 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что среди этих точек существуют такие 4 точки, которые являются вершинами выпуклого четырехугольника.
Решение:
Рассмотрим все треугольники с вершинами в данных точках. Выберем из них тот (или один из тех), в который попадает наибольшее число точек. Обозначим его $ABC$. Проведем прямые $AB$, $BC$ и $CA$. Они разбивают плоскость на области трех типов: I — треугольник, II — углы и III — открытые треугольники (рис.).
а) Если хотя бы одна точка $D$ лежит внутри открытого треугольника (для определенности с основанием $AB$), то четырехугольник $ABCD$ выпуклый.
б) Если обе точки $D$ и $E$ (см. рис.) лежат внутри треугольника, то прямая $DE$ пересекает только две стороны треугольника (для определенности $AB$ и $BC$). Прямая $DE$ не может согласно условию проходить через вершину треугольника. Итак, точки $ADEC$ образуют выпуклый четырехугольник.
в) Внутри углов точек быть не может по построению $\triangle ABC$. Если бы точка $D$ оказалась внутри угла, скажем угла $B$, то $\triangle ADC$ содержал бы $\triangle ABC$ и тем самым большее число точек внутри себя.
