Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1093
2015-03-10 
Дано $n$ положительных чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$, таких, что $a_{1} \cdot \cdots \cdot a_{n} = 1$.
Докажите, что
$(1+a_{1})(1+a_{2}) \cdots (1+a_{n}) \geq 2^{n}$
Решение:
Имеем:
$(1 + a_{1}) \cdots (1+a_{n}) = \left ( 1 + \frac{1}{a_{1}} \right ) \cdots \left ( 1 + \frac{1}{a_{n}} \right )$.
Следовательно,
$((1 + a_{1}) \cdots (1+a_{n}))^{2} = (1+a_{1}) \left ( 1 + \frac{1}{a_{1}} \right ) \cdots (1+a_{n}) \left ( 1 + \frac{1}{a_{n}} \right )$.
Так как
$(1+a_{i}) \left ( 1 + \frac{1}{a_{i}} \right ) = 1 + 1 + a_{i} + \frac{1}{a_{i}} \geq 2 + 2 =4$,
то
$((1+a_{1}) \cdots (1+a_{n})^{2} \geq 4^{n}$.
Дано $n$ положительных чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$, таких, что $a_{1} \cdot \cdots \cdot a_{n} = 1$.
Докажите, что
$(1+a_{1})(1+a_{2}) \cdots (1+a_{n}) \geq 2^{n}$
Решение:
Имеем:
$(1 + a_{1}) \cdots (1+a_{n}) = \left ( 1 + \frac{1}{a_{1}} \right ) \cdots \left ( 1 + \frac{1}{a_{n}} \right )$.
Следовательно,
$((1 + a_{1}) \cdots (1+a_{n}))^{2} = (1+a_{1}) \left ( 1 + \frac{1}{a_{1}} \right ) \cdots (1+a_{n}) \left ( 1 + \frac{1}{a_{n}} \right )$.
Так как
$(1+a_{i}) \left ( 1 + \frac{1}{a_{i}} \right ) = 1 + 1 + a_{i} + \frac{1}{a_{i}} \geq 2 + 2 =4$,
то
$((1+a_{1}) \cdots (1+a_{n})^{2} \geq 4^{n}$.
