Разделы 
Дополнительно
Задача по математике 1092
2015-03-10 
В плоскости дано $n > 3$ точек, причем никакие три точки не лежат на одной прямой. Существует ли окружность, проходящая по крайней мере через 3 данные точки и не содержащая внутри себя ни одной из остальных?
Решение:
Возьмем пару точек (или одну из таких пар), расстояние между которыми наименьшее. Обозначим эти точки $A$ и $B$. Выберем из оставшихся третью точку $C$ так, чтобы $\angle ACB$ был наибольшим. По условию точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. Окружность, проведенная через точки $A$, $B$, $C$, искомая.
Докажем это. $\angle ACB$ острый (Можно доказать, что $\hat{ACB} \leq 60^{\circ}$). В противном случае он был бы наибольшим углом $\triangle ABC$ и, следовательно, $|AB| > |AC|$ и $|AB| > |CB|$, что противоречит выбору пары $A$, $B$. Предположим противное, что какая-либо из остальных точек $M$ лежит внутри круга.
Случай I. Точка $M$ лежит внутри того же сегмента, что и точка $C$. Тогда $\hat{AMB} > \hat{ACB}$, что противоречит выбору точки $C$.
Случай II. Точка $M$ лежит в другом сегменте, тогда $\angle AMB$ тупой, что противоречит выбору точки $C$. Таким образом, внутри круга данных точек нет. На самой окружности данные точки могут быть. Например, заданные точки являются вершинами вписанного $n$ - угольника.
В плоскости дано $n > 3$ точек, причем никакие три точки не лежат на одной прямой. Существует ли окружность, проходящая по крайней мере через 3 данные точки и не содержащая внутри себя ни одной из остальных?
Решение:
Возьмем пару точек (или одну из таких пар), расстояние между которыми наименьшее. Обозначим эти точки $A$ и $B$. Выберем из оставшихся третью точку $C$ так, чтобы $\angle ACB$ был наибольшим. По условию точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. Окружность, проведенная через точки $A$, $B$, $C$, искомая.
Докажем это. $\angle ACB$ острый (Можно доказать, что $\hat{ACB} \leq 60^{\circ}$). В противном случае он был бы наибольшим углом $\triangle ABC$ и, следовательно, $|AB| > |AC|$ и $|AB| > |CB|$, что противоречит выбору пары $A$, $B$. Предположим противное, что какая-либо из остальных точек $M$ лежит внутри круга.
Случай I. Точка $M$ лежит внутри того же сегмента, что и точка $C$. Тогда $\hat{AMB} > \hat{ACB}$, что противоречит выбору точки $C$.
Случай II. Точка $M$ лежит в другом сегменте, тогда $\angle AMB$ тупой, что противоречит выбору точки $C$. Таким образом, внутри круга данных точек нет. На самой окружности данные точки могут быть. Например, заданные точки являются вершинами вписанного $n$ - угольника.
