ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2015-03-07   
Докажите тождество:
$\frac{1}{ \sin 2x} + \frac{1}{ \sin 4x} + \cdots + \frac{1}{\sin 2^{n} x} = ctg x – ctg 2^{n} x$,
где $n$ — натуральное и $x \neq \frac{\lambda \pi}{2^{k}} (k=0,1, \cdots , n; \lambda)$ — целое).


Решение:


Так как $x \neq \frac{\lambda \pi}{2^{k}}$, где $\lambda$, $k$ — целые, то $2^{k}x \neq 0$ и $ctg 2^{k} x$ и $ctg 2^{k-1} x$ существуют. Но
$ctg \alpha – ctg 2 \alpha = \frac{1}{\sin 2 \alpha}$.
Заданное тождество докажем по индукции. Для $n=1$ равенство справедливо, т. е.
$\frac{1}{\sin 2x} = ctg x - ctg 2x$.
Предположим, что оно верно для $n=m$, т.е. имеет место
$\frac{1}{ \sin 2x} + \frac{1}{\sin 4x} + \cdots + \frac{1}{\sin 2^{m}x} = ctg x – ctg 2^{m} x$.
Докажем справедливость тождества для $n=m+1$.
$\frac{1}{ \sin 2x} + \frac{1}{\sin 4x} + \cdots + \frac{1}{\sin 2^{m}x} + \frac{1}{\sin 2^{m+1} x} = ctg x – ctg 2^{m+1} x$.

Из доказанного следует, что в данное равенство верно для любых $n$.
Все преобразования допустимы в силу наложенных в условии ограничений на значения $x$.