ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2015-03-07   
Докажите, что если стороны $a, b, c$ и противолежащие им углы $\alpha, \beta, \gamma$ некоторого треугольника удовлетворяют соотношению
$a+b = tg \frac{\gamma}{2} (a tg \alpha + b tg \beta)$,
То этот треугольник равнобедренный.


Решение:


Так как $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — величины углов треугольника, то
$tg \frac{\gamma}{2} = ctg \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{ \sin \frac{\alpha + \beta}{2}}$.
Данное равенство примет вид:
$a \left ( 1 – tg \alpha \frac{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}} \right ) + b \left ( 1 – tg \beta \frac{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{ \sin \frac{\alpha + \beta}{2}} \right ) = 0$. (1)
Умножая (1) на $\sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cos \alpha \cos \beta$, получим
$a \cos \beta \left ( \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \alpha - \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \alpha \right ) + b \cos \alpha \left ( \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \beta - \cos \frac{\alpha + beta}{2} \sin \beta \right ) = 0$. (2)
Заменив выражения в скобках на синус разности, запишем:
$\sin \frac{\beta - \alpha}{2} (a \cos \beta – b \cos \alpha) = 0$. (3)
Отсюда либо $\sin \frac{\beta - \alpha}{2} = 0$, и тогда $\alpha = \beta$, т. е. треугольник равнобедренный, либо стоящее в скобках выражение равно нулю, т. е.
$a \cos \beta = b \cos \alpha$. (4)
По теореме синусов
$a \sin \beta = b \sin \alpha$. (5)

Возводя обе части равенства (4) и (5) в квадрат и складывая их, получим:
$a^{2} (\cos^{2} \beta + \sin^{2} \beta) = b^{2} (\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha)$. (6)
Значит, $a=b$, т.e. и в этом случае треугольник равнобедренный.