Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1086
2015-03-07 
На олимпиаде были даны три задачи: $A, B, C$. 25 школьников решили хотя бы одну задачу. Школьников, не решивших задачу $A$, но решивших $B$, в два раза больше, чем решивших $C$. Школьников, решивших только задачу $A$, на одного больше, чем остальных школьников, решивших задачу $A$. Сколько школьников решили только задачу $B$, если среди школьников, решивших только одну задачу, половина не решила задачу $A$?
Решение:
Обозначим число участников, решивших только задачу $B$, через $B$, число решивших задачи $A$ и $B$ — через $AB$ и т.д.
Тогда условия задачи выражаются четырьмя уравнениями:
$A+B+C+AB+BC+AC+ABC=25$, (1)
$B+BC=2(C+BC)$, (2)
$A-1=AB+AC+ABC$, (3)
$A+B+C=2(B+C)$. (4)
Заметим, что $A$, $B$, $C$, $AB$, $BC$, $AC$, $ABC$, очевидно, есть целые неотрицательные числа. Решим систему. (1) в сумме с (3) дает
$2A+B+C+BC-1=25$. (5)
Далее имеем:
$BC=B-2C$, (2*)
$A=B+C$. (4*)
Если из (5) вычесть (2*) и удвоенное (4*), то получим
$4B+C=26$,
отсюда
$C=26-4B$, (6)
$BC=B-(52-8B)=9B-52$. (7)
Так как $B$, $C$ и $BC$ — целые неотрицательные числа, то из (6) следует, что $B \leq 6$, а из (7) - $B \geq 6$. Значит, если решение существует, то $B=6$.
Решение существует, так как условиям удовлетворяют хотя бы значения: $A=8$, $B=6$, $C=2$, $AB=3$, $AC=2$, $BC=2$, $ABC+2$.
Следовательно, только задачу $B$ решили 6 школьников.
На олимпиаде были даны три задачи: $A, B, C$. 25 школьников решили хотя бы одну задачу. Школьников, не решивших задачу $A$, но решивших $B$, в два раза больше, чем решивших $C$. Школьников, решивших только задачу $A$, на одного больше, чем остальных школьников, решивших задачу $A$. Сколько школьников решили только задачу $B$, если среди школьников, решивших только одну задачу, половина не решила задачу $A$?
Решение:
Обозначим число участников, решивших только задачу $B$, через $B$, число решивших задачи $A$ и $B$ — через $AB$ и т.д.
Тогда условия задачи выражаются четырьмя уравнениями:
$A+B+C+AB+BC+AC+ABC=25$, (1)
$B+BC=2(C+BC)$, (2)
$A-1=AB+AC+ABC$, (3)
$A+B+C=2(B+C)$. (4)
Заметим, что $A$, $B$, $C$, $AB$, $BC$, $AC$, $ABC$, очевидно, есть целые неотрицательные числа. Решим систему. (1) в сумме с (3) дает
$2A+B+C+BC-1=25$. (5)
Далее имеем:
$BC=B-2C$, (2*)
$A=B+C$. (4*)
Если из (5) вычесть (2*) и удвоенное (4*), то получим
$4B+C=26$,
отсюда
$C=26-4B$, (6)
$BC=B-(52-8B)=9B-52$. (7)
Так как $B$, $C$ и $BC$ — целые неотрицательные числа, то из (6) следует, что $B \leq 6$, а из (7) - $B \geq 6$. Значит, если решение существует, то $B=6$.
Решение существует, так как условиям удовлетворяют хотя бы значения: $A=8$, $B=6$, $C=2$, $AB=3$, $AC=2$, $BC=2$, $ABC+2$.
Следовательно, только задачу $B$ решили 6 школьников.
