Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1083
2015-03-07 
Найдите четыре действительных числа $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$, таких, что каждое, сложенное с произведением остальных, равно 2.
Решение:
Обозначим $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = p$. Тогда наша система уравнений примет вид:
$x_{i} + \frac{p}{x_{i}} = 2$ где $i=1,2,3,4$.
Случай, когда одно из искомых чисел равно нулю, приводит к противоречию. Действительно, подставив 0 вместо $x_{1}$ получим:
$x_{2}x_{3}x_{4} = 2$,
$x_{2} = x_{3} = x_{4} = 2$.
Итак, все $x_{i}$ - являются корнями одного и того же квадратного уравнения: $x_{i}^{2} -2x_{i} + p = 0$. Поэтому среди них может быть только два различных. Рассмотрим три случая:
I. $x_{1} = x_{2} = x_{3} =x_{4} = m, m+m^{3}=2$; в силу монотонности функции $m+m^{3}$ имеем только одно действительное решение: $m=1$.
II. Три из искомых чисел равны, а четвертое им не равно. Пусть $x_{1} = x_{2} = x_{3} = m, x_{4} = n$,
$\begin{cases} m+m^{2}n = 2, & \\ n+m^{3} = 2 \end{cases}$
Отсюда $(m-n)(1-m^{2}) = 0$.
Случай $m=n$ и $m=1$ приводит к уже известному. Случай $m=-1$ дает $n=3$. Это дает еще четыре решения.
III. $x_{1} = x_{2} = m, x_{3} = x_{4} = n$,
$\begin {cases} m + mn^{2} = 2, & \\ n+nm^{2} = 2. \\ \end{cases}$
Отсюда $(m-n)(1-mn) = 0$. Случай $m=n$ новых решений не дает. Пусть $mn=1$. Тогда $m+n=2$, $m=n=1$. Новых решений не получили.
Ответ. 1) $x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4} = 1$.
2, 3, 4, 5) Один из $x_{i}$ равен 3, остальные равны —1.
Найдите четыре действительных числа $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$, таких, что каждое, сложенное с произведением остальных, равно 2.
Решение:
Обозначим $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = p$. Тогда наша система уравнений примет вид:
$x_{i} + \frac{p}{x_{i}} = 2$ где $i=1,2,3,4$.
Случай, когда одно из искомых чисел равно нулю, приводит к противоречию. Действительно, подставив 0 вместо $x_{1}$ получим:
$x_{2}x_{3}x_{4} = 2$,
$x_{2} = x_{3} = x_{4} = 2$.
Итак, все $x_{i}$ - являются корнями одного и того же квадратного уравнения: $x_{i}^{2} -2x_{i} + p = 0$. Поэтому среди них может быть только два различных. Рассмотрим три случая:
I. $x_{1} = x_{2} = x_{3} =x_{4} = m, m+m^{3}=2$; в силу монотонности функции $m+m^{3}$ имеем только одно действительное решение: $m=1$.
II. Три из искомых чисел равны, а четвертое им не равно. Пусть $x_{1} = x_{2} = x_{3} = m, x_{4} = n$,
$\begin{cases} m+m^{2}n = 2, & \\ n+m^{3} = 2 \end{cases}$
Отсюда $(m-n)(1-m^{2}) = 0$.
Случай $m=n$ и $m=1$ приводит к уже известному. Случай $m=-1$ дает $n=3$. Это дает еще четыре решения.
III. $x_{1} = x_{2} = m, x_{3} = x_{4} = n$,
$\begin {cases} m + mn^{2} = 2, & \\ n+nm^{2} = 2. \\ \end{cases}$
Отсюда $(m-n)(1-mn) = 0$. Случай $m=n$ новых решений не дает. Пусть $mn=1$. Тогда $m+n=2$, $m=n=1$. Новых решений не получили.
Ответ. 1) $x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4} = 1$.
2, 3, 4, 5) Один из $x_{i}$ равен 3, остальные равны —1.
