Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1081
2015-03-07 
Дана система уравнений:
$\begin{cases}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} = 0, & \\
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} = 0, & \\
a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} = 0, & \\
\end{cases}$
коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям:
а) $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ положительны;
б) все остальные коэффициенты отрицательны;
в) в каждом уравнении сумма коэффициентов положительна.
Докажите, что $x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0$ является единственным решением данной системы.
Решение:
Пусть $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ — решение системы и пусть $|x_{1}| \geq |x_{2}| \geq |x_{3}|$. Любой другой случай перестановкой индексов 1, 2, 3 и уравнений приводится к разбираемому. Если $|x_{1}| = 0$, то $x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0$. Предположим, что $|x_{1}| \neq 0$, тогда
$a_{11} + a_{12} \frac{x_{2}}{x_{1}} + a_{13} \frac{x_{3}}{x_{1}} \geq a_{11} - |a_{12}| \frac{|x_{2}|}{|x_{1}|} - |a_{13}| \frac{|x_{3}|}{|x_{1}|} \geq a_{11} - |a_{12}| - |a_{13}| = a_{11} + a_{12} + a_{13} > 0$.
Отсюда и из первого уравнения
$0 = |a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3}| = |x_{1}| \left | a_{11} + a_{12}\frac{x_{2}}{x_{1}} +a_{13} \frac{x_{3}}{x_{1}} \right | > 0$.
Полученное противоречие показывает необходимость равенства $|x_{1}| = 0$, что и требовалось. Это решение легко обобщается на случай аналогичной системы $n$ - уравнений с $n$ неизвестными.
Дана система уравнений:
$\begin{cases}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} = 0, & \\
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} = 0, & \\
a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} = 0, & \\
\end{cases}$
коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям:
а) $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ положительны;
б) все остальные коэффициенты отрицательны;
в) в каждом уравнении сумма коэффициентов положительна.
Докажите, что $x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0$ является единственным решением данной системы.
Решение:
Пусть $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ — решение системы и пусть $|x_{1}| \geq |x_{2}| \geq |x_{3}|$. Любой другой случай перестановкой индексов 1, 2, 3 и уравнений приводится к разбираемому. Если $|x_{1}| = 0$, то $x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0$. Предположим, что $|x_{1}| \neq 0$, тогда
$a_{11} + a_{12} \frac{x_{2}}{x_{1}} + a_{13} \frac{x_{3}}{x_{1}} \geq a_{11} - |a_{12}| \frac{|x_{2}|}{|x_{1}|} - |a_{13}| \frac{|x_{3}|}{|x_{1}|} \geq a_{11} - |a_{12}| - |a_{13}| = a_{11} + a_{12} + a_{13} > 0$.
Отсюда и из первого уравнения
$0 = |a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3}| = |x_{1}| \left | a_{11} + a_{12}\frac{x_{2}}{x_{1}} +a_{13} \frac{x_{3}}{x_{1}} \right | > 0$.
Полученное противоречие показывает необходимость равенства $|x_{1}| = 0$, что и требовалось. Это решение легко обобщается на случай аналогичной системы $n$ - уравнений с $n$ неизвестными.
