Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 108
2014-06-07 
Доказать, что существуют положительные иррациональные числа $a$ и $b$, для которых число $a^{b}$ является натуральным.
Решение:
Возьмем положительные числа
$a = \sqrt{2}$ и $b = log_{\sqrt{3}} 3$,
тогда число
$a^{b} = \sqrt{2}^{log_{\sqrt{3}} 3}$,
является натуральным. Число $a$ иррационально. Докажем, что число $b$ также иррационально. Действительно, в противном случае имеем $b = p/q$, где $p,q \in \mathbf{N}$, откуда
$p/q = 2 log_{2}3$, т. е. $2^{p} = 3^{2q}$,
что невозможно.
Доказать, что существуют положительные иррациональные числа $a$ и $b$, для которых число $a^{b}$ является натуральным.
Решение:
Возьмем положительные числа
$a = \sqrt{2}$ и $b = log_{\sqrt{3}} 3$,
тогда число
$a^{b} = \sqrt{2}^{log_{\sqrt{3}} 3}$,
является натуральным. Число $a$ иррационально. Докажем, что число $b$ также иррационально. Действительно, в противном случае имеем $b = p/q$, где $p,q \in \mathbf{N}$, откуда
$p/q = 2 log_{2}3$, т. е. $2^{p} = 3^{2q}$,
что невозможно.
