Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1078
2015-03-07 
На плоскости даны 5 точек. Среди прямых, соединяющих эти 5 точек, нет параллельных, перпендикулярных и совпадающих. Проводим через каждую точку перпендикуляры ко всем прямым, которые можно построить, соединяя попарно остальные 4 точки. Каково максимальное число точек пересечения этих
перпендикуляров между собой, не считая данные 5 точек?
Решение:
Всего прямых $C_{5}^{2}=10$. Через каждую точку, например $C$, проходит 4 прямых (рис.). Следовательно, из каждой точки выходят 6 перпендикуляров (по числу прямых, не проходящих через нее). Рассмотрим две какие-либо точки, например $B$ и $C$. Сосчитаем точки пересечения перпендикуляров, проведенных через точку $B$, с перпендикулярами, проведенными через точку $C$. Перпендикуляры, проведенные через точку $B$, к прямым, проходящим через точку $C$, пересекают все перпендикуляры, проведенные через точку $C$. Через точку $C$ проходят 3 прямых, не проходящих через $B$. Значит, через $B$ к ним можно провести 3 перпендикуляра. Они пересекаются с перпендикулярами, проведенными через точку $C$ в $3 \cdot 6=18$ точках. Любой другой перпендикуляр, проходящий через точку $B$ к остальным трем прямым, не проходящим через $B$, пересекает 5 перпендикуляров, проходящих через точку $C$, так как с одним он не пересекается, ибо проведен с ним к одной стороне. Получается еще 15 точек. Следовательно, перпендикуляры, проведенные из двух точек, пересекаются в 18+15 = 33 точках. Из 5 точек можно составить 10 пар. Следовательно, точек пересечения не более чем $33 \times 10 = 330$. Но некоторые из них совпадают. Действительно, любые 3 из данных 5 точек образуют треугольник. Высоты этого треугольника, являющиеся рассматриваемыми перпендикулярами, пересекаются в одной точке. Мы эту точку учли 3 раза. Всего таких треугольников существует $C_{5}^{2}=10$. Значит, 10 точек было учтено по 3 раза. Следовательно, всего точек пересечения не более чем 330—30+10 = 310.
Задача рассматривалась как комбинаторная и доказательства существования пятиугольника с ровно 310 точками пересечения перпендикуляров не требовалось. Нижеприведенное доказательство этого принадлежит А. Б. Сосинскому.
Пусть данные точки $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{5} $ находятся в общем положении, т. е. различны и таковы, что прямые $d_{k}$, соединяющие пары точек $A_{i}A_{j}$, попарно различны, не параллельны и не перпендикулярны. Перпендикуляры $p_{i}$ проведенные через точки $A_{i}$ на всевозможные прямые $d_{k}$, пересекаются по три в одной точке в «случае ортоцентров», т. е. тогда, когда
$A_{i_{1}} \in p{j}, A_{i_{2}} \in p_{j_{2}}, A_{i_{3}} \in p_{j_{3}}$ и $p_{i_{2}} \perp A_{i_{1}}A_{i_{3}}, p_{i_{2}} \perp A_{i_{1}}A_{i_{3}}, p_{i_{3}} \perp A_{i_{1}}A_{i_{3}}$.
Докажем, что точки $A_{1}, \cdots , A_{5}$ можно выбрать в общем положении гак, чтобы никаких пересечений по три или более перпендикуляров (кроме случаев ортоцентров) не существовало.
Начнем с произвольных пяти точек $A_{1}, \cdots, A_{5}$ в общем положении. Точек, которые не являются ортоцентрами, но в которых пересекаются три или более перпендикуляров, во всяком случае, конечное число. Поэтому сформулированное утверждение сразу получается, если последовательно применять следующее предложение:
Пусть точка $H$ является пересечением трех перпендикуляров $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, но не является ортоцентром треугольника, составленного из прямых $d_{k}$ (рис.). Тогда можно заменить одну из точек $A_{l}$, на точку $A_{l}^{\prime}$ так, чтобы:
(а) новые перпендикуляры $p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, p_{3}^{\prime}$ пересекались в трех точках,
(б) число остальных точек пересечения перпендикуляров не уменьшалось.
Докажем это предложение.
Пусть обозначения выбраны так, что перпендикуляр $p_{i}$, проходит через точку $A_{i}$, и ортогонален прямой $d_{i}$, где $i=1,2,3$.
Так как условие исключает случай ортоцентров, невозможно одновременное выполнение трех соотношений: $A_{1}= d_{2} \bigcap d_{3}, A_{2} = d_{1} \bigcap d_{3} , A_{3} = d_{1} \bigcap d_{2}$. Следовательно, хотя бы одно из них неверно. С точностью до изменения обозначений можно считать, что неверно первое, т. е. $A_{1} \neq d_{2} \bigcap d_{3}$.
Мы утверждаем, что если $\delta$ — любое положительное число, то найдется точка $A_{1}^{\prime} \neq A_{1}$ такая, что выполнено (а) и $d(A_{1}^{\prime}A_{1}) < \delta$(*). В самом деле, если $A_{1} \in d_{2}$ и $A_{1} \in d_{3}$, в качестве $A_{1}^{\prime}$ берем любую точку, отличную от $A_{1}$ и удовлетворяющую (*). Если же $A_{1} \in d_{2}$ (соответственно $A_{1}^{\prime} \in d_{2}$), то в качестве $A_{1}^{\prime}$ берем любую точку $A_{1}^{\prime} \in d_{2}$ (соответственно $A_{1}^{\prime} \in d_{3}$), отличную от $A_{1}$ и удовлетворяющую (*). Тогда прямые $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ и перпендикуляры $p_{2}, p_{3}$ не изменятся, в то время как перпендикуляр $p_{1}$ будет заменен параллельной прямой $A_{1}^{\prime} \in p_{1}^{\prime} $, которая пересечет $p_{2}$ и $p_{3}$ в двух разных точках $H^{\prime}$ и $H^{\prime \prime}$. Таким образом, новые перпендикуляры $p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime} \equiv p_{2}, p_{3}^{\prime} \equiv p_{3}$ пересекаются по трем точкам $H$, $H^{\prime}$, $H^{\prime \prime}$, т. е. (а) выполняется.
Теперь мы утверждаем, что если число $\delta$ > 0 достаточно мало, то выполняется также и (б). Если считать известным понятие непрерывности функции, то этот факт тривиален: в самом деле, декартовы координаты точек пересечения перпендикуляров непрерывно зависят от значений координат точек $A_{i}$ (в некоторой окрестности этих значений). Поэтому при достаточно малом $\delta$ > 0 координаты этих точек пересечения изменятся меньше, чем на половину минимального попарного расстояния между точками $A_{i}$, и поэтому никакие две точки пересечения не сольются.
Можно также привести доказательство этого утверждения, явно не опирающееся па понятие непрерывности.
Пусть $r_{0}$ равно половине минимального расстояния между парами точек пересечения перпендикуляров, и пусть $T$ — точка пересечения произвольных двух перпендикуляров $p_{i}$ и $p_{j}$. При замене $A_{1}$ на $A_{1}^{\prime}$ перпендикуляры $p_{i}$ и $p_{j}$ заменяются на перпендикуляры $p_{i}^{\prime}$ и $ p_{j}^{\prime}$. Получается новая точка пересечения $T^{\prime}$. Каждый из новых перпендикуляров может либо совпадать с исходным, либо быть ему параллельным, либо быть повернутым относительно него так, что возможны 6 различных случаев. Рассмотрим наиболее сложный (рис.): пусть $p_{i}$ повернулся на угол $\alpha$, а $p_{j}$ сдвинулся на расстояние $r$. Очевидно, что, выбрав достаточно малое $\delta$, мы можем сделать $\alpha$ и $r$ меньше наперед заданного числа. Имеем далее (см. рис.).
$|T^{\prime}C| = (h_{0}-r) \frac{\sin \alpha}{\sin \phi \sin (\alpha + \phi)}$ и $|TC| = \frac{r}{\sin \phi}$,
где $\phi = \hat{(p_{i},p_{j})}, C = p_{j}^{\prime} \bigcap p_{i}$ и $h_{0}$ — расстояние от $A_{i}$ до $p_{j}$, так как $\phi > 0$, при достаточно малых $\alpha $ и $r$ имеем: $|T^{\prime} C| < \frac{r_{0}}{2},|TC| < \frac{r_{0}}{2}$. Поэтому при достаточно малом $\delta$ будет
$|TT^{\prime}| < |TC| + |T^{\prime}C| < \frac{r_{0}}{2} + \frac{r_{0}}{2} = r_{0}$.
В остальных 5 случаях более простые оценки, которые мы опускаем, также дают $|TT^{\prime}| < r_{0}$.
Таким образом, коль скоро $\delta$ достаточно мало, точки пересечения сдвигаются меньше, чем на $r_{0}$, и не могут слиться: выполнено (б). Утверждение доказано.
На плоскости даны 5 точек. Среди прямых, соединяющих эти 5 точек, нет параллельных, перпендикулярных и совпадающих. Проводим через каждую точку перпендикуляры ко всем прямым, которые можно построить, соединяя попарно остальные 4 точки. Каково максимальное число точек пересечения этих
перпендикуляров между собой, не считая данные 5 точек?
Решение:
Всего прямых $C_{5}^{2}=10$. Через каждую точку, например $C$, проходит 4 прямых (рис.). Следовательно, из каждой точки выходят 6 перпендикуляров (по числу прямых, не проходящих через нее). Рассмотрим две какие-либо точки, например $B$ и $C$. Сосчитаем точки пересечения перпендикуляров, проведенных через точку $B$, с перпендикулярами, проведенными через точку $C$. Перпендикуляры, проведенные через точку $B$, к прямым, проходящим через точку $C$, пересекают все перпендикуляры, проведенные через точку $C$. Через точку $C$ проходят 3 прямых, не проходящих через $B$. Значит, через $B$ к ним можно провести 3 перпендикуляра. Они пересекаются с перпендикулярами, проведенными через точку $C$ в $3 \cdot 6=18$ точках. Любой другой перпендикуляр, проходящий через точку $B$ к остальным трем прямым, не проходящим через $B$, пересекает 5 перпендикуляров, проходящих через точку $C$, так как с одним он не пересекается, ибо проведен с ним к одной стороне. Получается еще 15 точек. Следовательно, перпендикуляры, проведенные из двух точек, пересекаются в 18+15 = 33 точках. Из 5 точек можно составить 10 пар. Следовательно, точек пересечения не более чем $33 \times 10 = 330$. Но некоторые из них совпадают. Действительно, любые 3 из данных 5 точек образуют треугольник. Высоты этого треугольника, являющиеся рассматриваемыми перпендикулярами, пересекаются в одной точке. Мы эту точку учли 3 раза. Всего таких треугольников существует $C_{5}^{2}=10$. Значит, 10 точек было учтено по 3 раза. Следовательно, всего точек пересечения не более чем 330—30+10 = 310.
Задача рассматривалась как комбинаторная и доказательства существования пятиугольника с ровно 310 точками пересечения перпендикуляров не требовалось. Нижеприведенное доказательство этого принадлежит А. Б. Сосинскому.
Пусть данные точки $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{5} $ находятся в общем положении, т. е. различны и таковы, что прямые $d_{k}$, соединяющие пары точек $A_{i}A_{j}$, попарно различны, не параллельны и не перпендикулярны. Перпендикуляры $p_{i}$ проведенные через точки $A_{i}$ на всевозможные прямые $d_{k}$, пересекаются по три в одной точке в «случае ортоцентров», т. е. тогда, когда
$A_{i_{1}} \in p{j}, A_{i_{2}} \in p_{j_{2}}, A_{i_{3}} \in p_{j_{3}}$ и $p_{i_{2}} \perp A_{i_{1}}A_{i_{3}}, p_{i_{2}} \perp A_{i_{1}}A_{i_{3}}, p_{i_{3}} \perp A_{i_{1}}A_{i_{3}}$.
Докажем, что точки $A_{1}, \cdots , A_{5}$ можно выбрать в общем положении гак, чтобы никаких пересечений по три или более перпендикуляров (кроме случаев ортоцентров) не существовало.
Начнем с произвольных пяти точек $A_{1}, \cdots, A_{5}$ в общем положении. Точек, которые не являются ортоцентрами, но в которых пересекаются три или более перпендикуляров, во всяком случае, конечное число. Поэтому сформулированное утверждение сразу получается, если последовательно применять следующее предложение:
Пусть точка $H$ является пересечением трех перпендикуляров $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, но не является ортоцентром треугольника, составленного из прямых $d_{k}$ (рис.). Тогда можно заменить одну из точек $A_{l}$, на точку $A_{l}^{\prime}$ так, чтобы:
(а) новые перпендикуляры $p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, p_{3}^{\prime}$ пересекались в трех точках,
(б) число остальных точек пересечения перпендикуляров не уменьшалось.
Докажем это предложение.
Пусть обозначения выбраны так, что перпендикуляр $p_{i}$, проходит через точку $A_{i}$, и ортогонален прямой $d_{i}$, где $i=1,2,3$.
Так как условие исключает случай ортоцентров, невозможно одновременное выполнение трех соотношений: $A_{1}= d_{2} \bigcap d_{3}, A_{2} = d_{1} \bigcap d_{3} , A_{3} = d_{1} \bigcap d_{2}$. Следовательно, хотя бы одно из них неверно. С точностью до изменения обозначений можно считать, что неверно первое, т. е. $A_{1} \neq d_{2} \bigcap d_{3}$.
Мы утверждаем, что если $\delta$ — любое положительное число, то найдется точка $A_{1}^{\prime} \neq A_{1}$ такая, что выполнено (а) и $d(A_{1}^{\prime}A_{1}) < \delta$(*). В самом деле, если $A_{1} \in d_{2}$ и $A_{1} \in d_{3}$, в качестве $A_{1}^{\prime}$ берем любую точку, отличную от $A_{1}$ и удовлетворяющую (*). Если же $A_{1} \in d_{2}$ (соответственно $A_{1}^{\prime} \in d_{2}$), то в качестве $A_{1}^{\prime}$ берем любую точку $A_{1}^{\prime} \in d_{2}$ (соответственно $A_{1}^{\prime} \in d_{3}$), отличную от $A_{1}$ и удовлетворяющую (*). Тогда прямые $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ и перпендикуляры $p_{2}, p_{3}$ не изменятся, в то время как перпендикуляр $p_{1}$ будет заменен параллельной прямой $A_{1}^{\prime} \in p_{1}^{\prime} $, которая пересечет $p_{2}$ и $p_{3}$ в двух разных точках $H^{\prime}$ и $H^{\prime \prime}$. Таким образом, новые перпендикуляры $p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime} \equiv p_{2}, p_{3}^{\prime} \equiv p_{3}$ пересекаются по трем точкам $H$, $H^{\prime}$, $H^{\prime \prime}$, т. е. (а) выполняется.
Теперь мы утверждаем, что если число $\delta$ > 0 достаточно мало, то выполняется также и (б). Если считать известным понятие непрерывности функции, то этот факт тривиален: в самом деле, декартовы координаты точек пересечения перпендикуляров непрерывно зависят от значений координат точек $A_{i}$ (в некоторой окрестности этих значений). Поэтому при достаточно малом $\delta$ > 0 координаты этих точек пересечения изменятся меньше, чем на половину минимального попарного расстояния между точками $A_{i}$, и поэтому никакие две точки пересечения не сольются.
Можно также привести доказательство этого утверждения, явно не опирающееся па понятие непрерывности.
Пусть $r_{0}$ равно половине минимального расстояния между парами точек пересечения перпендикуляров, и пусть $T$ — точка пересечения произвольных двух перпендикуляров $p_{i}$ и $p_{j}$. При замене $A_{1}$ на $A_{1}^{\prime}$ перпендикуляры $p_{i}$ и $p_{j}$ заменяются на перпендикуляры $p_{i}^{\prime}$ и $ p_{j}^{\prime}$. Получается новая точка пересечения $T^{\prime}$. Каждый из новых перпендикуляров может либо совпадать с исходным, либо быть ему параллельным, либо быть повернутым относительно него так, что возможны 6 различных случаев. Рассмотрим наиболее сложный (рис.): пусть $p_{i}$ повернулся на угол $\alpha$, а $p_{j}$ сдвинулся на расстояние $r$. Очевидно, что, выбрав достаточно малое $\delta$, мы можем сделать $\alpha$ и $r$ меньше наперед заданного числа. Имеем далее (см. рис.).
$|T^{\prime}C| = (h_{0}-r) \frac{\sin \alpha}{\sin \phi \sin (\alpha + \phi)}$ и $|TC| = \frac{r}{\sin \phi}$,
где $\phi = \hat{(p_{i},p_{j})}, C = p_{j}^{\prime} \bigcap p_{i}$ и $h_{0}$ — расстояние от $A_{i}$ до $p_{j}$, так как $\phi > 0$, при достаточно малых $\alpha $ и $r$ имеем: $|T^{\prime} C| < \frac{r_{0}}{2},|TC| < \frac{r_{0}}{2}$. Поэтому при достаточно малом $\delta$ будет
$|TT^{\prime}| < |TC| + |T^{\prime}C| < \frac{r_{0}}{2} + \frac{r_{0}}{2} = r_{0}$.
В остальных 5 случаях более простые оценки, которые мы опускаем, также дают $|TT^{\prime}| < r_{0}$.
Таким образом, коль скоро $\delta$ достаточно мало, точки пересечения сдвигаются меньше, чем на $r_{0}$, и не могут слиться: выполнено (б). Утверждение доказано.
