Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1076
2015-02-22 
В треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$ вписан круг и построены к нему касательные, параллельные сторонам данного треугольника. Эти касательные отсекают от данного треугольника $ABC$ три новых треугольника. В каждый из таким образом построенных треугольников вписан круг. Вычислите сумму площадей всех четырех кругов.
Решение:
Впишем в $\triangle ABC$ круг и проведем к нему касательные $A_{1}A_{2} \parallel BC; B_{1}B_{2} \parallel AC; C_{1}C_{2} \parallel AB $ (рис.). Пусть радиус этого круга $r$. Впишем в каждый из новых треугольников круги. Их радиусы обозначим соответственно $r_{1}, r_{2}, r_{3}$, а их высоты из вершин $A, B, C$ обозначим соответственно $h_{1}, h_{2}, h_{3}$. Площадь круга, вписанного в $\triangle ABC$, равна $S = \pi r^{2}; r = \frac{S_{\triangle ABC}}{p}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}, S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
Треугольники $AA_{1}A_{2}, BB_{1}B_{2}, CC_{1}C_{2}$ гомотетичны треугольнику $ABC$, и круги, вписанные в получившиеся треугольники, гомотетичны кругу радиуса $r$.
Следовательно, $\frac{r_{1}}{r} = \frac{h_{1}}{h_{a}}; \frac{r_{2}}{r} = \frac{h_{2}}{h_{b}}; \frac{r_{3}}{r} = \frac{h_{}3}{h_{c}}$, где $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ c высоты треугольника $ABC$, проведенные соответственно на стороны $a, b, c$.
Расстояния между парами параллельных прямых $B_{1}B_{2}$ и $AC$, $A_{1}A_{2}$ и $BC$, $C_{1}C_{2}$ и $AB$ будут равны $2r$. $A^{\prime}A^{\prime \prime} = B^{\prime}B^{\prime \prime} = C^{\prime}C^{\prime \prime} = 2r$.
Следовательно,
$h_{1} = h_{1} – 2r; h_{2} = h_{b} – 2r; h_{3} = h_{c} – 2r$;
$h_{a} = \frac{2S_{\triangle ABC}}{a}; h_{b} = \frac{2S_{\triangle ABC}}{b} ; h_{c} = \frac{2S_{\triangle ABC}}{c} $.
Поэтому
$\frac{r_{1}}{r} = \frac{h_{a}-2r}{h_{a}} = 1 - \frac{2r}{h_{a}}; r_{1} = r - \frac{2r^{2}}{h_{a}}$;
$r_{1} = \frac{S_{ \triangle ABC}}{p} - \frac{2aS^{2}_{ \triangle ABC}}{p^{2} \cdot 2S_{\triangle ABC}} = \frac{S_{ \triangle ABC} (p-a)}{p^{2}}$.
Аналогично,
$r_{2} = \frac{S_{\triangle ABC (p-b)}}{p^{2}}; r_{3} = \frac{S_{ \triangle ABC} (p-c)}{p^{2}}$;
$S+S_{1}+S_{2}+S_{3} = \pi r^{2} + \pi r_{1}^{2} + \pi r^{2}_{2} + \pi r_{3}^{2} = \pi \left ( \frac{S_{ \triangle ABC}^{2}}{p^{2}} + \frac{S_{ \triangle ABC}^{2} (p-a)^{2}}{p^{4}} + \frac{S_{ \triangle ABC}^{2} (p-b)^{2}}{p^{4}} + \frac{S_{ \triangle ABC}^{2} (p-c)^{2}}{p^{4}} \right ) = \frac{ \pi S_{ \triangle ABC}^{2}}{p^{4}} (p^{2} + (p-a)^{2} + (p-b)^{2} + (p-c)^{2}) = \frac{\pi p (p-a)(p-b)(p-c)}{p^{4}} \times (p^{2} + p^{2} – 2ap + a^{2} + p^{2} -2bp + b^{2} + p^{2} -2cp + c^{2}) = \frac{\pi (a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)^{3}} (4p^{2} – 4p^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \frac{\pi (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)(a^{2} + b^{2} + c^{2})}{(a+b+c)^{3}}$.
В треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$ вписан круг и построены к нему касательные, параллельные сторонам данного треугольника. Эти касательные отсекают от данного треугольника $ABC$ три новых треугольника. В каждый из таким образом построенных треугольников вписан круг. Вычислите сумму площадей всех четырех кругов.
Решение:
Впишем в $\triangle ABC$ круг и проведем к нему касательные $A_{1}A_{2} \parallel BC; B_{1}B_{2} \parallel AC; C_{1}C_{2} \parallel AB $ (рис.). Пусть радиус этого круга $r$. Впишем в каждый из новых треугольников круги. Их радиусы обозначим соответственно $r_{1}, r_{2}, r_{3}$, а их высоты из вершин $A, B, C$ обозначим соответственно $h_{1}, h_{2}, h_{3}$. Площадь круга, вписанного в $\triangle ABC$, равна $S = \pi r^{2}; r = \frac{S_{\triangle ABC}}{p}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}, S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
Треугольники $AA_{1}A_{2}, BB_{1}B_{2}, CC_{1}C_{2}$ гомотетичны треугольнику $ABC$, и круги, вписанные в получившиеся треугольники, гомотетичны кругу радиуса $r$.
Следовательно, $\frac{r_{1}}{r} = \frac{h_{1}}{h_{a}}; \frac{r_{2}}{r} = \frac{h_{2}}{h_{b}}; \frac{r_{3}}{r} = \frac{h_{}3}{h_{c}}$, где $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ c высоты треугольника $ABC$, проведенные соответственно на стороны $a, b, c$.
Расстояния между парами параллельных прямых $B_{1}B_{2}$ и $AC$, $A_{1}A_{2}$ и $BC$, $C_{1}C_{2}$ и $AB$ будут равны $2r$. $A^{\prime}A^{\prime \prime} = B^{\prime}B^{\prime \prime} = C^{\prime}C^{\prime \prime} = 2r$.
Следовательно,
$h_{1} = h_{1} – 2r; h_{2} = h_{b} – 2r; h_{3} = h_{c} – 2r$;
$h_{a} = \frac{2S_{\triangle ABC}}{a}; h_{b} = \frac{2S_{\triangle ABC}}{b} ; h_{c} = \frac{2S_{\triangle ABC}}{c} $.
Поэтому
$\frac{r_{1}}{r} = \frac{h_{a}-2r}{h_{a}} = 1 - \frac{2r}{h_{a}}; r_{1} = r - \frac{2r^{2}}{h_{a}}$;
$r_{1} = \frac{S_{ \triangle ABC}}{p} - \frac{2aS^{2}_{ \triangle ABC}}{p^{2} \cdot 2S_{\triangle ABC}} = \frac{S_{ \triangle ABC} (p-a)}{p^{2}}$.
Аналогично,
$r_{2} = \frac{S_{\triangle ABC (p-b)}}{p^{2}}; r_{3} = \frac{S_{ \triangle ABC} (p-c)}{p^{2}}$;
$S+S_{1}+S_{2}+S_{3} = \pi r^{2} + \pi r_{1}^{2} + \pi r^{2}_{2} + \pi r_{3}^{2} = \pi \left ( \frac{S_{ \triangle ABC}^{2}}{p^{2}} + \frac{S_{ \triangle ABC}^{2} (p-a)^{2}}{p^{4}} + \frac{S_{ \triangle ABC}^{2} (p-b)^{2}}{p^{4}} + \frac{S_{ \triangle ABC}^{2} (p-c)^{2}}{p^{4}} \right ) = \frac{ \pi S_{ \triangle ABC}^{2}}{p^{4}} (p^{2} + (p-a)^{2} + (p-b)^{2} + (p-c)^{2}) = \frac{\pi p (p-a)(p-b)(p-c)}{p^{4}} \times (p^{2} + p^{2} – 2ap + a^{2} + p^{2} -2bp + b^{2} + p^{2} -2cp + c^{2}) = \frac{\pi (a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)^{3}} (4p^{2} – 4p^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \frac{\pi (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)(a^{2} + b^{2} + c^{2})}{(a+b+c)^{3}}$.
