Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1075
2015-02-22 
Обозначим через $a, b, c$ длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что
$a^{2} (b+c-a) + b^{2} (c+a-b) + c^{2} (a+b-c) \leq 3abc$.
Решение:
$(a-b)^{2} \geq 0; (b-c)^{2} \geq 0; (c-a)^{2} \geq 0$ при любых $a, b$ и $c$. Из того, что $a, b, c$ — стороны треугольника, следует, что
$b+c-a > 0, c+a-b > 0, a+b –c > 0$.
Значит, $(b-c)^{2}(b+c-a) \geq 0$,
$(c-a)^{2}(c+a-b) \geq 0$,
$(a-b)^{2}(a+b-c) \geq 0$.
Сложив почленно эти неравенства, получим:
$6abc – 2a^{2}(b+c-a)-2b^{2}(a+c-b)-2c^{2}(a+b-c) \geq 0$,
откуда
$a^{2} (b+c-a) + b^{2}(a+c-b) + c^{2}(a+b-c) \leq 3abc$.
Примечание. Неравенство справедливо также, если требовать только $a \geq 0; b \geq 0; c \geq 0$.
Обозначим через $a, b, c$ длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что
$a^{2} (b+c-a) + b^{2} (c+a-b) + c^{2} (a+b-c) \leq 3abc$.
Решение:
$(a-b)^{2} \geq 0; (b-c)^{2} \geq 0; (c-a)^{2} \geq 0$ при любых $a, b$ и $c$. Из того, что $a, b, c$ — стороны треугольника, следует, что
$b+c-a > 0, c+a-b > 0, a+b –c > 0$.
Значит, $(b-c)^{2}(b+c-a) \geq 0$,
$(c-a)^{2}(c+a-b) \geq 0$,
$(a-b)^{2}(a+b-c) \geq 0$.
Сложив почленно эти неравенства, получим:
$6abc – 2a^{2}(b+c-a)-2b^{2}(a+c-b)-2c^{2}(a+b-c) \geq 0$,
откуда
$a^{2} (b+c-a) + b^{2}(a+c-b) + c^{2}(a+b-c) \leq 3abc$.
Примечание. Неравенство справедливо также, если требовать только $a \geq 0; b \geq 0; c \geq 0$.
