Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1072
2015-02-22 
Докажите, что
$\cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2 \pi}{7} + \cos \frac{3 \pi}{7} = \frac{1}{2}$.
Решение:
Умножим и разделим выражение в левой части доказываемого тождества на $2 \cos \frac{ \pi}{12}$, что не равно 0 (или на $2 \sin \frac{ \pi}{14}$). Применим после этого в числителе формулу
$2 \cos x \cos y = \cos (x+y) + \cos (x-y)$:
$\cos \frac{ \pi}{7} - \cos \frac{2 \pi}{7} + \cos \frac{3 \pi}{7} = \frac{2 \cos \frac{ \pi}{14} \left ( \cos \frac{ \pi}{7} - \cos \frac{ 2 \pi}{7} +
\cos \frac{3 \pi}{7} \right ) }{2 \cos \frac{ \pi}{14}} = \frac{ \cos \frac{3 \pi}{14} + \cos \frac{ \pi}{14} - \cos \frac{5 \pi}{14} - \cos \frac{3 \pi}{14} + \cos \frac{7 \pi}{14} + \cos \frac{5 \pi}{14}}{2 \cos \frac{ \pi}{14}} = \frac{ \cos \frac{ \pi}{14}}{2 \cos \frac{ \pi}{14}} = \frac{1}{2}$.
Докажите, что
$\cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2 \pi}{7} + \cos \frac{3 \pi}{7} = \frac{1}{2}$.
Решение:
Умножим и разделим выражение в левой части доказываемого тождества на $2 \cos \frac{ \pi}{12}$, что не равно 0 (или на $2 \sin \frac{ \pi}{14}$). Применим после этого в числителе формулу
$2 \cos x \cos y = \cos (x+y) + \cos (x-y)$:
$\cos \frac{ \pi}{7} - \cos \frac{2 \pi}{7} + \cos \frac{3 \pi}{7} = \frac{2 \cos \frac{ \pi}{14} \left ( \cos \frac{ \pi}{7} - \cos \frac{ 2 \pi}{7} +
\cos \frac{3 \pi}{7} \right ) }{2 \cos \frac{ \pi}{14}} = \frac{ \cos \frac{3 \pi}{14} + \cos \frac{ \pi}{14} - \cos \frac{5 \pi}{14} - \cos \frac{3 \pi}{14} + \cos \frac{7 \pi}{14} + \cos \frac{5 \pi}{14}}{2 \cos \frac{ \pi}{14}} = \frac{ \cos \frac{ \pi}{14}}{2 \cos \frac{ \pi}{14}} = \frac{1}{2}$.
