Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1071
2015-02-22 
Найдите все решения $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ системы уравнений
$\begin{cases} x_{5}+x_{2}=yx_{1}, & (1) \\
x_{1}+x_{3}=yx_{2}, & (2)\\
x_{2}+x_{4}=yx_{3}, & (3)\\
x_{3}+x_{5}=yx_{4}, & (4)\\
x_{4}+x_{1}=yx_{5}, & (5)\\
\end{cases}$
где $y$ — параметр.
Решение:
Система чисел $x_{1} =x_{2} = x_{3} = x_{4} = x_{5} = 0$ при любом $y$ есть решение. Далее, находим «нетривиальные» решения, где хоть одно $x_{i}$ отлично от 0. (1) и (5) можно записать в равносильном виде:
$x_{2} = yx_{1} – x_{5}$; (6)
$x_{4} = yx_{5} – x_{1}$ (7)
а (2) и (4) соответственно в виде:
$x_{3} = yx_{2} – x_{1}$;
$x_{3} = yx_{4} – x_{5}$.
В последних соотношениях исключим $x_{2}$ и $x_{4}$ с помощью (6) и (7):
$x_{3}=(y^{2} - 1)x_{1} – yx_{5}$; (8)
$x_{3}=(y^{2} - 1)x_{5} – yx_{1}$. (9)
Таким образом, системе четырех уравнений (1), (2), (4), (5) равносильна система уравнений (6), (8), (9), (7).
Приравняем правые части соотношений (8) и (9). Получаем:
$(y^{2} - 1)x_{1} – yx_{5} = (y^{2}-1)x_{5} – yx_{1}$,
или
$(y^{2}+y-1)x_{1} = (y^{2}+y-1)x_{5}$. (10)
Рассмотрим теперь два случая:
$1^{\circ} y^{2} + y -1 \neq 0$.
$2^{\circ} y^{2} + y – 1 = 0$.
В первом случае, поделив обе части уравнения (10) на $y^{2}+y-1 \neq 0$, получаем $x_{1} = x_{5}$. Изменив циклически нумерацию уравнений и переменных, аналогично получим, что все $x_{i}$ с соседними номерами равны, т. е. $x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4} = x_{5}$. Откуда $y=2$ при $x_{i}$, отличных от нуля. Проверка — подстановкой.
Пусть теперь $y^{2}+y-1 = 0$, т. е. $y^{2} – 1 = - y$. В этом случае (8) и (9) — это дважды написанное одно и то же уравнение:
$x_{3} = - y(x_{1} + x_{5})$. (11)
Легко проверить, что уравнение (3) является следствием (6), (7) и (11). Действительно,
$x_{2} + x_{4} = (y-1)(x_{1}+x_{5})$;
$x_{2} + x_{4} = - x_{3} \cdot \frac{y-1}{y}$. (12)
Сравним (3):
$x_{2} + x_{4} = yx_{3}$.
Чтобы доказать их тождественность, вычтем из (12) (3):
$0 = x_{3} \left ( y + \frac{y-1}{y}\right )$.
Это тождество (см. $2^{\circ}$). Таким образом, если $y$ — любой корень уравнения $y^{2} + y – 1 = 0, y_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{5}$, то можно, например, $x_{1}$ и $x_{5}$ задать совершенно произвольно, $x_{2}$ определить по формуле (6), $x_{4}$ — по формуле (7) и $x_{3}$ — по формуле (11). Уравнения (1) — (5) при этом выполняются автоматически, так как они при таких значениях $y$ являются следствиями уравнений (6), (7) и (11).
Найдите все решения $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ системы уравнений
$\begin{cases} x_{5}+x_{2}=yx_{1}, & (1) \\
x_{1}+x_{3}=yx_{2}, & (2)\\
x_{2}+x_{4}=yx_{3}, & (3)\\
x_{3}+x_{5}=yx_{4}, & (4)\\
x_{4}+x_{1}=yx_{5}, & (5)\\
\end{cases}$
где $y$ — параметр.
Решение:
Система чисел $x_{1} =x_{2} = x_{3} = x_{4} = x_{5} = 0$ при любом $y$ есть решение. Далее, находим «нетривиальные» решения, где хоть одно $x_{i}$ отлично от 0. (1) и (5) можно записать в равносильном виде:
$x_{2} = yx_{1} – x_{5}$; (6)
$x_{4} = yx_{5} – x_{1}$ (7)
а (2) и (4) соответственно в виде:
$x_{3} = yx_{2} – x_{1}$;
$x_{3} = yx_{4} – x_{5}$.
В последних соотношениях исключим $x_{2}$ и $x_{4}$ с помощью (6) и (7):
$x_{3}=(y^{2} - 1)x_{1} – yx_{5}$; (8)
$x_{3}=(y^{2} - 1)x_{5} – yx_{1}$. (9)
Таким образом, системе четырех уравнений (1), (2), (4), (5) равносильна система уравнений (6), (8), (9), (7).
Приравняем правые части соотношений (8) и (9). Получаем:
$(y^{2} - 1)x_{1} – yx_{5} = (y^{2}-1)x_{5} – yx_{1}$,
или
$(y^{2}+y-1)x_{1} = (y^{2}+y-1)x_{5}$. (10)
Рассмотрим теперь два случая:
$1^{\circ} y^{2} + y -1 \neq 0$.
$2^{\circ} y^{2} + y – 1 = 0$.
В первом случае, поделив обе части уравнения (10) на $y^{2}+y-1 \neq 0$, получаем $x_{1} = x_{5}$. Изменив циклически нумерацию уравнений и переменных, аналогично получим, что все $x_{i}$ с соседними номерами равны, т. е. $x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4} = x_{5}$. Откуда $y=2$ при $x_{i}$, отличных от нуля. Проверка — подстановкой.
Пусть теперь $y^{2}+y-1 = 0$, т. е. $y^{2} – 1 = - y$. В этом случае (8) и (9) — это дважды написанное одно и то же уравнение:
$x_{3} = - y(x_{1} + x_{5})$. (11)
Легко проверить, что уравнение (3) является следствием (6), (7) и (11). Действительно,
$x_{2} + x_{4} = (y-1)(x_{1}+x_{5})$;
$x_{2} + x_{4} = - x_{3} \cdot \frac{y-1}{y}$. (12)
Сравним (3):
$x_{2} + x_{4} = yx_{3}$.
Чтобы доказать их тождественность, вычтем из (12) (3):
$0 = x_{3} \left ( y + \frac{y-1}{y}\right )$.
Это тождество (см. $2^{\circ}$). Таким образом, если $y$ — любой корень уравнения $y^{2} + y – 1 = 0, y_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{5}$, то можно, например, $x_{1}$ и $x_{5}$ задать совершенно произвольно, $x_{2}$ определить по формуле (6), $x_{4}$ — по формуле (7) и $x_{3}$ — по формуле (11). Уравнения (1) — (5) при этом выполняются автоматически, так как они при таких значениях $y$ являются следствиями уравнений (6), (7) и (11).
