Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1068
2015-02-22 
Найдите действительные корни уравнения
$\sqrt{x^{2} - p} + 2 \sqrt{x^{2}-1} = x$,
где $p$ — действительный параметр.
Решение:
Данное уравнение равносильно следующей системе:
$\begin{cases} (\sqrt{x^{2}-p} + 2 \sqrt{x^{2}-1})^{2} = x^{2}&\\ x \geq 0 \\ \end{cases}$ (1)
В самом деле, очевидно, что из данного уравнения следует система (1), в то же время из системы (1) следует:
$|\sqrt{x^{2}-p} + 2 \sqrt{x^{2}-1}| = |x|$.
Так как левая часть неотрицательна, то знак модуля можно опустить, но второе условие системы (1) говорит, что к также неотрицательно, поэтому можно опустить знак модуля и в правой части. В итоге мы придем к исходному уравнению.
Производя тождественные преобразования, имеем:
$\begin{cases} 4\sqrt{x^{2}-p} \cdot \sqrt{x^{2}-1} = p+4-4x^{2} &\\ x \geq 0 \end{cases}$
Рассуждениями, аналогичными предыдущим, легко показать, что последняя система равносильна такой:
$\begin{cases} (4 \sqrt{x^{2}-p} \cdot \sqrt{x^{2}-1})^{2} = (p+4-4x^{2})^{2}, & \\ x \geq 0, & \\ p+4-4x^{2} \geq 0, \\ \end{cases}$ (2)
а эта в свою очередь системе
$\begin{cases} 16(x^{2}-p)(x^{2}-1) = (p+4-4x^{2})^{2}, &\\
x \geq 0, & \\
p+4-4x^{2} \geq 0, & \\
x^{2} – p \geq 0, & \\
x^{2}-1 \geq 0,
\end{cases}$
или
$\begin{cases} 8(2-p)x^{2}=(4-p)^{2}, & \\
x \geq 0, & \\
x^{2} \leq \frac{p+4}{4},& \\
x^{2} \geq p, & \\
x^{2} \geq 1.\\ \end{cases}$ (3)
Пусть теперь $p=2$. Тогда система (3) не имеет решений, ибо в противном случае в первом уравнении получилось бы 0 = 4. Точно так же система не имеет решений при $p > 2$, потому что тогда левая часть первого равенства была бы неположительной, а правая — положительной. Исключение составляет лишь $p=4$, при котором правая часть равна 0; однако и в этом случае решений нет, ибо нарушается последнее неравенство системы $(3):0 \geq 1$.
Итак, если система вообще имеет решение, то только при $p < 2$. В этом случае будет:
$x^{2} = \frac{(4-p)^{2}}{8(2-p)}$.
Проверим выполнимость последних трех неравенств системы при условии $p < 2$. Из них первое сводится к такому:
$\frac{p(3p-4)}{p-2} \geq 0$.
Умножая на отрицательный знаменатель, имеем $p(3p-4) \leq 0$, т. е. $0 \leq p \leq \frac{4}{3}$. Если это неравенство не выполняется, то система решений не имеет. Второе неравенство дает $\frac{(3p-4)^{2}}{8(p-2)} \leq 0$ и выполняется всегда (конечно, в указанных границах). То же относительно последнего неравенства, сводящегося к $\frac{p^{2}}{8(p-2)} \leq 0$.
Итак, при $0 \leq p \leq \frac{4}{3}$ система (3) равносильна такой:
$\begin{cases} x^{2} = \frac{(4-p)^{2}}{8(2-p)},&\\ x \geq 0. \\ \end{cases}$ (4)
Так как мы совершали только тождественные преобразования, то система (4) равносильна исходному уравнению. Из нее имеем $x = \pm \frac{4-p}{2 \sqrt{2(2-p)}}$ и, учитывая $x \geq 0$ и то, что $p$ во всяком случае меньше 2,
$x = \frac{4-p}{2 \sqrt{2(2-p)}}$ (5)
Ответ. Если $P < 0$ или $p > \frac{4}{3}$, то данное уравнение не имеет корней. Если $0 \leq p \leq \frac{4}{3}$, то уравнение имеет решение, и притом единственное, которое задается формулой (5).
Найдите действительные корни уравнения
$\sqrt{x^{2} - p} + 2 \sqrt{x^{2}-1} = x$,
где $p$ — действительный параметр.
Решение:
Данное уравнение равносильно следующей системе:
$\begin{cases} (\sqrt{x^{2}-p} + 2 \sqrt{x^{2}-1})^{2} = x^{2}&\\ x \geq 0 \\ \end{cases}$ (1)
В самом деле, очевидно, что из данного уравнения следует система (1), в то же время из системы (1) следует:
$|\sqrt{x^{2}-p} + 2 \sqrt{x^{2}-1}| = |x|$.
Так как левая часть неотрицательна, то знак модуля можно опустить, но второе условие системы (1) говорит, что к также неотрицательно, поэтому можно опустить знак модуля и в правой части. В итоге мы придем к исходному уравнению.
Производя тождественные преобразования, имеем:
$\begin{cases} 4\sqrt{x^{2}-p} \cdot \sqrt{x^{2}-1} = p+4-4x^{2} &\\ x \geq 0 \end{cases}$
Рассуждениями, аналогичными предыдущим, легко показать, что последняя система равносильна такой:
$\begin{cases} (4 \sqrt{x^{2}-p} \cdot \sqrt{x^{2}-1})^{2} = (p+4-4x^{2})^{2}, & \\ x \geq 0, & \\ p+4-4x^{2} \geq 0, \\ \end{cases}$ (2)
а эта в свою очередь системе
$\begin{cases} 16(x^{2}-p)(x^{2}-1) = (p+4-4x^{2})^{2}, &\\
x \geq 0, & \\
p+4-4x^{2} \geq 0, & \\
x^{2} – p \geq 0, & \\
x^{2}-1 \geq 0,
\end{cases}$
или
$\begin{cases} 8(2-p)x^{2}=(4-p)^{2}, & \\
x \geq 0, & \\
x^{2} \leq \frac{p+4}{4},& \\
x^{2} \geq p, & \\
x^{2} \geq 1.\\ \end{cases}$ (3)
Пусть теперь $p=2$. Тогда система (3) не имеет решений, ибо в противном случае в первом уравнении получилось бы 0 = 4. Точно так же система не имеет решений при $p > 2$, потому что тогда левая часть первого равенства была бы неположительной, а правая — положительной. Исключение составляет лишь $p=4$, при котором правая часть равна 0; однако и в этом случае решений нет, ибо нарушается последнее неравенство системы $(3):0 \geq 1$.
Итак, если система вообще имеет решение, то только при $p < 2$. В этом случае будет:
$x^{2} = \frac{(4-p)^{2}}{8(2-p)}$.
Проверим выполнимость последних трех неравенств системы при условии $p < 2$. Из них первое сводится к такому:
$\frac{p(3p-4)}{p-2} \geq 0$.
Умножая на отрицательный знаменатель, имеем $p(3p-4) \leq 0$, т. е. $0 \leq p \leq \frac{4}{3}$. Если это неравенство не выполняется, то система решений не имеет. Второе неравенство дает $\frac{(3p-4)^{2}}{8(p-2)} \leq 0$ и выполняется всегда (конечно, в указанных границах). То же относительно последнего неравенства, сводящегося к $\frac{p^{2}}{8(p-2)} \leq 0$.
Итак, при $0 \leq p \leq \frac{4}{3}$ система (3) равносильна такой:
$\begin{cases} x^{2} = \frac{(4-p)^{2}}{8(2-p)},&\\ x \geq 0. \\ \end{cases}$ (4)
Так как мы совершали только тождественные преобразования, то система (4) равносильна исходному уравнению. Из нее имеем $x = \pm \frac{4-p}{2 \sqrt{2(2-p)}}$ и, учитывая $x \geq 0$ и то, что $p$ во всяком случае меньше 2,
$x = \frac{4-p}{2 \sqrt{2(2-p)}}$ (5)
Ответ. Если $P < 0$ или $p > \frac{4}{3}$, то данное уравнение не имеет корней. Если $0 \leq p \leq \frac{4}{3}$, то уравнение имеет решение, и притом единственное, которое задается формулой (5).
