Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1065
2015-02-22 
На окружности $K$ заданы три различные точки $A$, $B$, $C$. Построите (циркулем и линейкой) на окружности $K$ четвертую точку $D$ так, чтобы в полученный четырехугольник $ABCD$ можно было вписать окружность.
Решение:
В выпуклый четырехугольник (рис.), последовательные вершины которого суть точки $A, B, C$ и $D$, как известно, можно вписать окружность, тогда и только тогда, если
$|AD| + |BC| = |AB| + |CD|$.
Пусть для определенности $|AB| \geq |BC|$ и, следовательно,
$|AB| - |BC| = |AD| - |CD| \geq 0$.
Тогда задача сводится к построению треугольника $ACD$ по основанию, углу $ADC$, равному $\pi - \hat{ABC}$, и разности $|AD| - |CD|$. Предположим, что задача решена и $\triangle ADC$ построен. Отложим от точки $D$ отрезок $|DE| = |CD|. \triangle CDE$ — равнобедренный.
$\hat{CED} = \frac{\pi - \hat{ADC}}{2} = \frac{\hat{ABC}}{2}$;
$\hat{AEC} = \pi - \frac{\hat{ABC}}{2}$.
Отсюда вытекает следующее построение. На отрезке $AC$ по другую сторону от $B$ строим сегмент, вмещающий угол $AEC$, равный $\pi - \frac{\hat{ABC}}{2}$, и из точки $A$ проводим окружность радиуса $|AB| - |BC|$. Точка пересечения сегмента и окружности (она всегда существует, так как $|AE| < |AC|$, ибо $|AB| - |BC| < |AC|$) есть искомая точка $E$. Продолжим $AE$ до пересечения с заданной окружностью, получим искомую точку $D$. Задача всегда имеет единственное решение на дуге $AC$, не содержащей точку $B$. Если $|AB| = |BC|$, то получим точку $D$ как пересечение биссектрисы угла $ABC$ с окружностью.
В решении задачи некоторые участники не указывали, как выбрать нужный сегмент. А в алгебраическом способе решения не доказывали, что решение существует.
На окружности $K$ заданы три различные точки $A$, $B$, $C$. Построите (циркулем и линейкой) на окружности $K$ четвертую точку $D$ так, чтобы в полученный четырехугольник $ABCD$ можно было вписать окружность.
Решение:
В выпуклый четырехугольник (рис.), последовательные вершины которого суть точки $A, B, C$ и $D$, как известно, можно вписать окружность, тогда и только тогда, если
$|AD| + |BC| = |AB| + |CD|$.
Пусть для определенности $|AB| \geq |BC|$ и, следовательно,
$|AB| - |BC| = |AD| - |CD| \geq 0$.
Тогда задача сводится к построению треугольника $ACD$ по основанию, углу $ADC$, равному $\pi - \hat{ABC}$, и разности $|AD| - |CD|$. Предположим, что задача решена и $\triangle ADC$ построен. Отложим от точки $D$ отрезок $|DE| = |CD|. \triangle CDE$ — равнобедренный.
$\hat{CED} = \frac{\pi - \hat{ADC}}{2} = \frac{\hat{ABC}}{2}$;
$\hat{AEC} = \pi - \frac{\hat{ABC}}{2}$.
Отсюда вытекает следующее построение. На отрезке $AC$ по другую сторону от $B$ строим сегмент, вмещающий угол $AEC$, равный $\pi - \frac{\hat{ABC}}{2}$, и из точки $A$ проводим окружность радиуса $|AB| - |BC|$. Точка пересечения сегмента и окружности (она всегда существует, так как $|AE| < |AC|$, ибо $|AB| - |BC| < |AC|$) есть искомая точка $E$. Продолжим $AE$ до пересечения с заданной окружностью, получим искомую точку $D$. Задача всегда имеет единственное решение на дуге $AC$, не содержащей точку $B$. Если $|AB| = |BC|$, то получим точку $D$ как пересечение биссектрисы угла $ABC$ с окружностью.
В решении задачи некоторые участники не указывали, как выбрать нужный сегмент. А в алгебраическом способе решения не доказывали, что решение существует.
