Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1064
2015-02-22 
Решите уравнение:
$\cos^{2} x + \cos^{2} 2x + \cos^{2} 3x =1$.
Решение:
Применяя формулы
$2 \cos^{2} x = 1 + \cos 2x, 2 \cos^{2} 2x = 1 + \cos 4x$,
получим
$\cos 2x + \cos 4x + 2 \cos^{2} 3x = 0$.
Используя формулу для $(\cos \alpha + \cos \beta)$, получим
$2 \cos 3x \cdot \cos x + 2 \cos^{2} 3x = 0$,
или
$2 \cos 3x (\cos x + \cos 3x) = 0$,
$2 \cos 3x \cdot 2 \cos 2x \cdot \cos x =0$.
Решениями уравнения (1) являются
$x_{1} = \frac{\pi}{2} + \pi k; 2x_{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k; 3x_{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$,
или
$x_{1} = \frac{\pi}{2} + \pi k; x_{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k; x_{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}k$,
где $k = \cdots, —2, —1, 0, 1, 2, \cdots $
Следует заметить, что первая серия значений содержится в третьей.
Решите уравнение:
$\cos^{2} x + \cos^{2} 2x + \cos^{2} 3x =1$.
Решение:
Применяя формулы
$2 \cos^{2} x = 1 + \cos 2x, 2 \cos^{2} 2x = 1 + \cos 4x$,
получим
$\cos 2x + \cos 4x + 2 \cos^{2} 3x = 0$.
Используя формулу для $(\cos \alpha + \cos \beta)$, получим
$2 \cos 3x \cdot \cos x + 2 \cos^{2} 3x = 0$,
или
$2 \cos 3x (\cos x + \cos 3x) = 0$,
$2 \cos 3x \cdot 2 \cos 2x \cdot \cos x =0$.
Решениями уравнения (1) являются
$x_{1} = \frac{\pi}{2} + \pi k; 2x_{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k; 3x_{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$,
или
$x_{1} = \frac{\pi}{2} + \pi k; x_{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k; x_{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}k$,
где $k = \cdots, —2, —1, 0, 1, 2, \cdots $
Следует заметить, что первая серия значений содержится в третьей.
