Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1062
2015-02-17 
Пусть $P$ — многочлен с целочисленными коэффициентами, не являющийся константой, и пусть $n(P)$ — число всех различных целых чисел $k$, для которых $(P(k))^{2} = 1$.
Докажите, что $n(P) – deg(P) \leq 2$, где $deg(P)$ означает степень многочлена $P$.
Решение:
Предположим сначала, что каждый из многочленов $P(x)-1$ и $P(x)+1$ имеет не менее трех различных целых корней, причем они, очевидно, отличны от корней другого. Из этих шести целых чисел возьмем наименьшее и обозначим его через $a$. Не ограничивая общности, можем считать, что $a$ — корень многочлена $P(x)+1$. Тогда легко проверить, что справедливо представление $P(x)+1=(x-a)Q(x)$, где $Q(x)$ также многочлен с целыми коэффициентами. Пусть $p,q,r$ — три различных целых корня многочлена $P(x)-1$, причем в силу выбора $a$, все они больше $a$. Но $P(x)-1=(x-a)Q(x)-2$. Отсюда $2=(p-a)Q(p)=(q-a)Q(q)=(r-a)Q(r)$, где $p-a,q-a,r-a$ - различные положительные целые числа. Но тогда хотя бы одно из них больше 2, что, очевидно, противоречит тому, что оно входит
в разложение числа 2 на целые множители.
Таким образом, наше предположение неверно и, значит, хотя
бы у одного из уравнений $P(x)=1$ и $P(x)=-1$ число целых корней меньше или равно 2. Отсюда и из того, что число корней каждого из этих уравнений не может превосходить $deg(P)$, следует доказываемое неравенство.
Пусть $P$ — многочлен с целочисленными коэффициентами, не являющийся константой, и пусть $n(P)$ — число всех различных целых чисел $k$, для которых $(P(k))^{2} = 1$.
Докажите, что $n(P) – deg(P) \leq 2$, где $deg(P)$ означает степень многочлена $P$.
Решение:
Предположим сначала, что каждый из многочленов $P(x)-1$ и $P(x)+1$ имеет не менее трех различных целых корней, причем они, очевидно, отличны от корней другого. Из этих шести целых чисел возьмем наименьшее и обозначим его через $a$. Не ограничивая общности, можем считать, что $a$ — корень многочлена $P(x)+1$. Тогда легко проверить, что справедливо представление $P(x)+1=(x-a)Q(x)$, где $Q(x)$ также многочлен с целыми коэффициентами. Пусть $p,q,r$ — три различных целых корня многочлена $P(x)-1$, причем в силу выбора $a$, все они больше $a$. Но $P(x)-1=(x-a)Q(x)-2$. Отсюда $2=(p-a)Q(p)=(q-a)Q(q)=(r-a)Q(r)$, где $p-a,q-a,r-a$ - различные положительные целые числа. Но тогда хотя бы одно из них больше 2, что, очевидно, противоречит тому, что оно входит
в разложение числа 2 на целые множители.
Таким образом, наше предположение неверно и, значит, хотя
бы у одного из уравнений $P(x)=1$ и $P(x)=-1$ число целых корней меньше или равно 2. Отсюда и из того, что число корней каждого из этих уравнений не может превосходить $deg(P)$, следует доказываемое неравенство.
