Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 10611
2023-02-20 
В правильную четырёхугольную пирамиду впишите прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма так, чтобы одна грань параллелепипеда лежала в плоскости основания пирамиды, а вершины противоположной грани принадлежали боковым рёбрам.
Решение:
Пусть $V$ - объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания $ABCD$, равной $a$, и высотой $SH$, равной $h$; $V_{1}$ - объём прямоугольного параллелепипеда $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$, грань $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ которого лежит в плоскости $ABCD$, а вершины $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ - на боковых рёбрах соответственно $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ пирамиды.
Пусть $H_{1}$ - точка пересечения высоты $SH$ пирамиды с плоскостью грани $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ параллелепипеда. Обозначим $\frac{SH_{1}}{SH}=k$ ($0\lt k\lt1$), $x$ - сторона квадрата $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$, $y$ - боковое ребро параллелепипеда. Тогда
$y=H_{1}H=(1-k)SH=(1-k)h,~x=ka,~$
$V_{1}=x^{2}y=ka\cdot ka\cdot(1-k)h=a^{2}h\cdot k^{2}(1-k)=3V\cdot k^{2}(1-k)=12V\cdot\frac{k}{2}\cdot\frac{k}{2}\cdot(1-k)\leq 12 V\cdot\left(\frac{\frac{k}{2}+\frac{k}{2}+1-k}{3}\right)^{3}=12V\cdot\frac{1}{27}=\frac{4}{9}V,$
причём равенство достигается в случае, когда $\frac{k}{2}=1-k$, т.е. при $k=\frac{2}{3}$.
В правильную четырёхугольную пирамиду впишите прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма так, чтобы одна грань параллелепипеда лежала в плоскости основания пирамиды, а вершины противоположной грани принадлежали боковым рёбрам.
Решение:
Пусть $V$ - объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания $ABCD$, равной $a$, и высотой $SH$, равной $h$; $V_{1}$ - объём прямоугольного параллелепипеда $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$, грань $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ которого лежит в плоскости $ABCD$, а вершины $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ - на боковых рёбрах соответственно $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ пирамиды.
Пусть $H_{1}$ - точка пересечения высоты $SH$ пирамиды с плоскостью грани $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ параллелепипеда. Обозначим $\frac{SH_{1}}{SH}=k$ ($0\lt k\lt1$), $x$ - сторона квадрата $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$, $y$ - боковое ребро параллелепипеда. Тогда
$y=H_{1}H=(1-k)SH=(1-k)h,~x=ka,~$
$V_{1}=x^{2}y=ka\cdot ka\cdot(1-k)h=a^{2}h\cdot k^{2}(1-k)=3V\cdot k^{2}(1-k)=12V\cdot\frac{k}{2}\cdot\frac{k}{2}\cdot(1-k)\leq 12 V\cdot\left(\frac{\frac{k}{2}+\frac{k}{2}+1-k}{3}\right)^{3}=12V\cdot\frac{1}{27}=\frac{4}{9}V,$
причём равенство достигается в случае, когда $\frac{k}{2}=1-k$, т.е. при $k=\frac{2}{3}$.
