Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1061
2015-02-17 
Найдите множество значений суммы
$S = \frac{a}{a+b+d} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{b+c+d} + \frac{d}{a+c+d}$
где $a,b,c,d$ — произвольные положительные действительные
числа.
Решение:
Легко заметить, что сумма $S$ однородна относительно входящих в нее чисел $a,b,c,d$, т. е. она не меняет своего значения при одновременном умножении всех этих чисел на один и тот же коэффициент. Поэтому мы не уменьшим множество значений суммы $S$, если рассмотрим ее только в той части области определения, в которой $a+b+c+d=1$. Положим, далее, $a+c=x$ и $b+d=y$, причем $x>0,y>0$ и $x+y=1$.
Рассмотрим сумму
$S_{1} = \frac{a}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}=\frac{a}{1-c}+\frac{c}{1-a}=\frac{2ac+x-x^{2}}{ac+1-x}$.
При постоянном $x$, если $(a,c)$ пробегает все пары положительных действительных чисел, для которых $a+c=x$, как нетрудно проверить, произведение $ac$ пробегает все действительные числа между 0 и $\left ( \frac{a+c}{2} \right ) = \frac{x^{2}}{4}$. Точнее, $0 < ac \leq \frac{x^{2}}{4}$. На этом участке выражение
$S_{1} = \frac{2ac+x-x^{2}}{ac+1-x} = 2 + \frac{3x-2-x^{2}}{ac+1-x}$
рассмотренное как функция от $ac$, меняется монотонно и пробегает все значения из полуинтервала $\left ( x, \frac{2x}{2-x} \right ]$.
Аналогично доказывается, что при постоянном $y$ выражение
$S_{2} = \frac{b}{a+b+c} + \frac{d}{a+c+d}$
принимает все значения из полуинтервала $\left ( y, \frac{2y}{2-y} \right ]$.
Тогда $S$ принимает все значения из полуинтервала
$\left ( x+y, \frac{2x}{2-x} + \frac{2y}{2-y} \right ] = \left ( 1, \frac{4-4xy}{2+xy} \right ]$.
Если теперь $x$ и $y$ принимают произвольные положительные значения, при которых $x+y=1$, то рассуждения, сходные с приведенными выше, показывают, что выражение $\frac{4-4xy}{2+xy}$ принимает все значения из полуинтервала $\left [ \frac{4}{3},2 \right )$. Отсюда заключаем, что $S$ принимает все значения из интервала (1,2).
Читатели, знакомые с основами математического анализа, при решении этой задачи могут воспользоваться свойствами непрерывных функций. Очевидно, что
$S < \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a+b} + \frac{c}{c+d} + \frac{d}{c+d} =2$
и
$S > \frac{a}{a+b+c+d} + \frac{b}{a+b+c+d} + \frac{c}{a+b+c+d} + \frac{d}{a+b+c+d} =1$
Далее следует доказать, что $S$ может принимать значения, сколь угодно близкие к 1 и 2, а затем, используя в той или иной форме теорему о промежуточных значениях непрерывной функции, установить, что $S$ принимает все значения из интервала (1,2).
Найдите множество значений суммы
$S = \frac{a}{a+b+d} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{b+c+d} + \frac{d}{a+c+d}$
где $a,b,c,d$ — произвольные положительные действительные
числа.
Решение:
Легко заметить, что сумма $S$ однородна относительно входящих в нее чисел $a,b,c,d$, т. е. она не меняет своего значения при одновременном умножении всех этих чисел на один и тот же коэффициент. Поэтому мы не уменьшим множество значений суммы $S$, если рассмотрим ее только в той части области определения, в которой $a+b+c+d=1$. Положим, далее, $a+c=x$ и $b+d=y$, причем $x>0,y>0$ и $x+y=1$.
Рассмотрим сумму
$S_{1} = \frac{a}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}=\frac{a}{1-c}+\frac{c}{1-a}=\frac{2ac+x-x^{2}}{ac+1-x}$.
При постоянном $x$, если $(a,c)$ пробегает все пары положительных действительных чисел, для которых $a+c=x$, как нетрудно проверить, произведение $ac$ пробегает все действительные числа между 0 и $\left ( \frac{a+c}{2} \right ) = \frac{x^{2}}{4}$. Точнее, $0 < ac \leq \frac{x^{2}}{4}$. На этом участке выражение
$S_{1} = \frac{2ac+x-x^{2}}{ac+1-x} = 2 + \frac{3x-2-x^{2}}{ac+1-x}$
рассмотренное как функция от $ac$, меняется монотонно и пробегает все значения из полуинтервала $\left ( x, \frac{2x}{2-x} \right ]$.
Аналогично доказывается, что при постоянном $y$ выражение
$S_{2} = \frac{b}{a+b+c} + \frac{d}{a+c+d}$
принимает все значения из полуинтервала $\left ( y, \frac{2y}{2-y} \right ]$.
Тогда $S$ принимает все значения из полуинтервала
$\left ( x+y, \frac{2x}{2-x} + \frac{2y}{2-y} \right ] = \left ( 1, \frac{4-4xy}{2+xy} \right ]$.
Если теперь $x$ и $y$ принимают произвольные положительные значения, при которых $x+y=1$, то рассуждения, сходные с приведенными выше, показывают, что выражение $\frac{4-4xy}{2+xy}$ принимает все значения из полуинтервала $\left [ \frac{4}{3},2 \right )$. Отсюда заключаем, что $S$ принимает все значения из интервала (1,2).
Читатели, знакомые с основами математического анализа, при решении этой задачи могут воспользоваться свойствами непрерывных функций. Очевидно, что
$S < \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a+b} + \frac{c}{c+d} + \frac{d}{c+d} =2$
и
$S > \frac{a}{a+b+c+d} + \frac{b}{a+b+c+d} + \frac{c}{a+b+c+d} + \frac{d}{a+b+c+d} =1$
Далее следует доказать, что $S$ может принимать значения, сколь угодно близкие к 1 и 2, а затем, используя в той или иной форме теорему о промежуточных значениях непрерывной функции, установить, что $S$ принимает все значения из интервала (1,2).
