Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1060
2015-02-17 
Рассмотрим разбиения шахматной доски $8 \times 8$ на $p$ взаимно непересекающихся прямоугольников, удовлетворяющие следующим условиям:
1) каждый прямоугольник состоит из некоторого числа клеток
и содержит белых клеток столько же, сколько и черных;
2) если $a_{i}$, — число белых клеток в $i$-том прямоугольнике, то $a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{p}$.
Найдите наибольшее значение $p$, при котором такое разбиение возможно, и определите для этого значения $p$ все последовательности $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{p}$, для которых можно реализовать такое разбиение.
Решение:
Из пункта 2) условия задачи вытекает, что $a_{i} \geq i$ и поэтому
$32 = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{p} \geq \frac{p(p+1)}{2}$.
Отсюда следует, что $p \leq 7$.
Выпишем все возможные разложения числа 32 на сумму семи попарно различных натуральных слагаемых:
$1. 1 +2+3+4+5+6+11$
$1. 1 +2+3+4+5+7+10$
$1. 1 +2+3+4+5+8+9$
$1. 1 +2+3+4+6+7+9$
$1. 1 +2+3+5+6+7+8$
Случай 1 не реализуется, так как на шахматной доске размером $8 \times 8$ не существует прямоугольника из 22 клеток. Остальные случаи реализуются, в чем легко убедиться, построив соответствующие примеры.
Рассмотрим разбиения шахматной доски $8 \times 8$ на $p$ взаимно непересекающихся прямоугольников, удовлетворяющие следующим условиям:
1) каждый прямоугольник состоит из некоторого числа клеток
и содержит белых клеток столько же, сколько и черных;
2) если $a_{i}$, — число белых клеток в $i$-том прямоугольнике, то $a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{p}$.
Найдите наибольшее значение $p$, при котором такое разбиение возможно, и определите для этого значения $p$ все последовательности $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{p}$, для которых можно реализовать такое разбиение.
Решение:
Из пункта 2) условия задачи вытекает, что $a_{i} \geq i$ и поэтому
$32 = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{p} \geq \frac{p(p+1)}{2}$.
Отсюда следует, что $p \leq 7$.
Выпишем все возможные разложения числа 32 на сумму семи попарно различных натуральных слагаемых:
$1. 1 +2+3+4+5+6+11$
$1. 1 +2+3+4+5+7+10$
$1. 1 +2+3+4+5+8+9$
$1. 1 +2+3+4+6+7+9$
$1. 1 +2+3+5+6+7+8$
Случай 1 не реализуется, так как на шахматной доске размером $8 \times 8$ не существует прямоугольника из 22 клеток. Остальные случаи реализуются, в чем легко убедиться, построив соответствующие примеры.
