Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 106
2014-06-07 
Существует ли множество $M \subset \mathbf{N}$, удовлетворяющее следующим двум условиям:
1) любое число $n \in \mathbf{N}$ большее 1, представимо в виде $n = a + b$, где $a,b \in M$;
2) если каждое из чисел $a, b, c, d \in M$ больше 10, то равенство $a + b=c + d$ возможно лишь в случае $a = c$ или $a = d$?
Решение:
Предположим, что описанное в задаче множество М существует. Обозначим через $m_{k}$ количество чисел из множества М, не превосходящих числа $k \in \mathbf{N}$. Тогда количество чисел $a \in M$, удовлетворяющих неравенствам $10 < a \leq k$, равно $m_{k} – m_{10}$, а количество различных пар таких чисел равно
$C^{2}_{m_{k}-m_{10}} = (m_{k}-m_{10})(m_{k}-m_{10}-1)/2$.
Если каждой такой паре чисел $a > b$ поставить в соответствие их разность $a - b$, то все полученные разности будут различны. Действительно, пусть для пар $a > b$ и $c > d$ справедливо равенство $a - b = c – d$, тогда $a + d = c + b$ и, согласно, условию 2), либо $a = b$ (что неверно, ибо $a > b$), либо $a = c$ (откуда $b = d$, т. е. пары совпадают). Поскольку все полученные разности меньше $k$, то имеем неравенства
$k > C^{2}_{m_{k}-m_{10}} > (m_{k} – m_{10} -1)^{2}/2$.
Но $m_{10} \leq 10$, поэтому
$m_{k} < \sqrt{2k} + m_{10} + 1 \leq \sqrt{2k}+11$
для любого значения $k = 11, 12, \cdots$ Далее, любое число
$n \in {2;3; \cdots ; 2k}$
представимо, согласно условию 1), в виде суммы двух чисел из множества М, причем либо оба этих числа не превосходят $k$, либо ровно одно из них больше $k$, но меньше $2k$. Поэтому количество таких пар чисел, с одной стороны, не меньше $2k – 1$, а с другой стороны, не больше чем
$\frac{m_{k}(m_{k}-1)}{2} + m_{k}(m_{2k}-m_{k}) = \frac{m_{k}}{2} (2m_{2k} – m_{k} - 1) \leq \frac{m_{k}}{2} (2m_{2k} – m_{k})$
Таким образом, при любом значении $k > 10$ имеем неравенство
$m_{k}(2m_{2k} – m_{k}) \geq 4k – 2$,
а учитывая, что
$m_{2k} \leq \sqrt{4k}+11 = \alpha$ и $m_{k} < \sqrt{2k} + 11 = \beta < \alpha$,
получаем
$4k – 2 \leq m_{k} (2 \alpha – m_{k}) = (\alpha – (\alpha – m_{k})) (\alpha + (\alpha – m_{k}))=$
$= \alpha^{2} – (\alpha –m_{k})^{2} \leq 4k + 44 \sqrt{k} + 121 – k (2 - \sqrt{2})^{2}$.
Следовательно, при всех значениях $k > 10$ квадратный трехчлен
$f(\sqrt{k}) = k (2 \sqrt{2})^{2} – 44 \sqrt{k} - 123$
принимает только неположительные значения, что неверно. Полученное противоречие доказывает, что множества М, удовлетворяющего условиям задачи, не существует.
Существует ли множество $M \subset \mathbf{N}$, удовлетворяющее следующим двум условиям:
1) любое число $n \in \mathbf{N}$ большее 1, представимо в виде $n = a + b$, где $a,b \in M$;
2) если каждое из чисел $a, b, c, d \in M$ больше 10, то равенство $a + b=c + d$ возможно лишь в случае $a = c$ или $a = d$?
Решение:
Предположим, что описанное в задаче множество М существует. Обозначим через $m_{k}$ количество чисел из множества М, не превосходящих числа $k \in \mathbf{N}$. Тогда количество чисел $a \in M$, удовлетворяющих неравенствам $10 < a \leq k$, равно $m_{k} – m_{10}$, а количество различных пар таких чисел равно
$C^{2}_{m_{k}-m_{10}} = (m_{k}-m_{10})(m_{k}-m_{10}-1)/2$.
Если каждой такой паре чисел $a > b$ поставить в соответствие их разность $a - b$, то все полученные разности будут различны. Действительно, пусть для пар $a > b$ и $c > d$ справедливо равенство $a - b = c – d$, тогда $a + d = c + b$ и, согласно, условию 2), либо $a = b$ (что неверно, ибо $a > b$), либо $a = c$ (откуда $b = d$, т. е. пары совпадают). Поскольку все полученные разности меньше $k$, то имеем неравенства
$k > C^{2}_{m_{k}-m_{10}} > (m_{k} – m_{10} -1)^{2}/2$.
Но $m_{10} \leq 10$, поэтому
$m_{k} < \sqrt{2k} + m_{10} + 1 \leq \sqrt{2k}+11$
для любого значения $k = 11, 12, \cdots$ Далее, любое число
$n \in {2;3; \cdots ; 2k}$
представимо, согласно условию 1), в виде суммы двух чисел из множества М, причем либо оба этих числа не превосходят $k$, либо ровно одно из них больше $k$, но меньше $2k$. Поэтому количество таких пар чисел, с одной стороны, не меньше $2k – 1$, а с другой стороны, не больше чем
$\frac{m_{k}(m_{k}-1)}{2} + m_{k}(m_{2k}-m_{k}) = \frac{m_{k}}{2} (2m_{2k} – m_{k} - 1) \leq \frac{m_{k}}{2} (2m_{2k} – m_{k})$
Таким образом, при любом значении $k > 10$ имеем неравенство
$m_{k}(2m_{2k} – m_{k}) \geq 4k – 2$,
а учитывая, что
$m_{2k} \leq \sqrt{4k}+11 = \alpha$ и $m_{k} < \sqrt{2k} + 11 = \beta < \alpha$,
получаем
$4k – 2 \leq m_{k} (2 \alpha – m_{k}) = (\alpha – (\alpha – m_{k})) (\alpha + (\alpha – m_{k}))=$
$= \alpha^{2} – (\alpha –m_{k})^{2} \leq 4k + 44 \sqrt{k} + 121 – k (2 - \sqrt{2})^{2}$.
Следовательно, при всех значениях $k > 10$ квадратный трехчлен
$f(\sqrt{k}) = k (2 \sqrt{2})^{2} – 44 \sqrt{k} - 123$
принимает только неположительные значения, что неверно. Полученное противоречие доказывает, что множества М, удовлетворяющего условиям задачи, не существует.
