Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1059
2015-02-17 
Докажите, что для любого натурального числа $n$ число
$\sum_{k=0}^{n} C_{2n+1}^{2k+1} \cdot 2^{3k}$
не делится на 5.
Решение:
Рассмотрим некоторое обобщение сумм, входящих в условие задачи. А именно введем обозначения при $m \geq 1$
$A_{m} = \sum_{k} C_{m}^{2k+1} 2^{3k} (0 < 2k+1 \leq m) B_{m}=\sum_{k}C_{m}^{2k}2^{3k} (0 \leq 2k \leq m) (C_{0}^{0} = 1)$.
При $m$ нечетном, большем 1, $A_{m}$ дает сумму из условия задачи. Используя известное равенство $C_{m}^{l+1} + C_{m}^{l} = C_{m+1}^{l+1} (l+1 \leq m)$, легко проверить, что при $m \geq 1$
$A_{m} + B_{m} = A_{m+1}, 8A_{m} + B_{m} = B_{m+1}$. (1)
Покажем теперь по индукции, что $A_{m}$ при $m$ нечетном, а $B_{m}$ при $m$ четном не делится на 5. Для всех $m \leq 3$ это верно, так как $A_{1} = 1, A_{3} = 11, B_{3} = 9$. Пусть для некоторого $i > 3$ это верно при всех $m \leq i$. Проверим, что тогда это верно и при всех $m \leq i+1$.
В самом деле, применяя несколько раз равенства (1), полу-
чаем
$A_{m+3} = A_{m+2}+B_{m+2} = 9A_{m+1} + 2B_{m+1} = 5(5A_{m}+2B_{m}) +B_{m}, \\ B_{m+3}=5(17A_{m}+5B_{m})+3A_{m}$.
Отсюда, в частности, следует, что суммы из условия задачи при
любом натуральном $n$ не делятся на 5.
Докажите, что для любого натурального числа $n$ число
$\sum_{k=0}^{n} C_{2n+1}^{2k+1} \cdot 2^{3k}$
не делится на 5.
Решение:
Рассмотрим некоторое обобщение сумм, входящих в условие задачи. А именно введем обозначения при $m \geq 1$
$A_{m} = \sum_{k} C_{m}^{2k+1} 2^{3k} (0 < 2k+1 \leq m) B_{m}=\sum_{k}C_{m}^{2k}2^{3k} (0 \leq 2k \leq m) (C_{0}^{0} = 1)$.
При $m$ нечетном, большем 1, $A_{m}$ дает сумму из условия задачи. Используя известное равенство $C_{m}^{l+1} + C_{m}^{l} = C_{m+1}^{l+1} (l+1 \leq m)$, легко проверить, что при $m \geq 1$
$A_{m} + B_{m} = A_{m+1}, 8A_{m} + B_{m} = B_{m+1}$. (1)
Покажем теперь по индукции, что $A_{m}$ при $m$ нечетном, а $B_{m}$ при $m$ четном не делится на 5. Для всех $m \leq 3$ это верно, так как $A_{1} = 1, A_{3} = 11, B_{3} = 9$. Пусть для некоторого $i > 3$ это верно при всех $m \leq i$. Проверим, что тогда это верно и при всех $m \leq i+1$.
В самом деле, применяя несколько раз равенства (1), полу-
чаем
$A_{m+3} = A_{m+2}+B_{m+2} = 9A_{m+1} + 2B_{m+1} = 5(5A_{m}+2B_{m}) +B_{m}, \\ B_{m+3}=5(17A_{m}+5B_{m})+3A_{m}$.
Отсюда, в частности, следует, что суммы из условия задачи при
любом натуральном $n$ не делятся на 5.
