Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1058
2015-02-17 
В треугольнике $ABC$ величины углов при вершинах $A, B$ и $C$ равны соответственно $\alpha, \beta $ и $\gamma$. Докажите, что неравенство
$\sin \alpha \cdot \sin \beta \leq \sin^{2} \frac{\gamma}{2}$
является необходимым и достаточным условием для того, чтобы
на отрезке $AB$ нашлась точка $D$, такая, что величина $CD$ является средним геометрическим величин $AD$ и $BD$.
Решение:
Опишем около треугольника $ABC$ окружность и, взяв на отрезке $AB$ произвольную точку $D$, продолжим отрезок $CD$ до пересечения с окружностью в точке $E$ (рис.). Получим $|CD| \cdot |DE| = |AD| \cdot |DB|$. Отсюда видно, что $|CD|$ будет средним геометрическим $|AD|$ и $|DB|$ тогда и только тогда, когда $|CD| = |DE|$.
Значит, нахождение точки $D$ с искомыми свойствами эквивалентно нахождению на окружности такой точки $E$, что отрезок $CE$ точкой пересечения с отрезком $AB$ делится пополам. Но такую точку $E$ на окружности можно найти тогда и только тогда, когда $|CF| \leq |HG|$, где $CF$ — высота треугольника $ABC$, а $HG$ — высота сегмента $AHB$, образованного хордой $AB$ и стягивающей ее дугой, не содержащей точки $C$. Легко, однако, подсчитать, что если $r$ — радиус описанной окружности, то
$|CF| = 2r \sin \alpha \cdot \sin \beta$ а $|HG| = r-r \cos \gamma = 2r \sin^{2} \frac{\gamma}{2}$.
Отсюда видно, что фигурирующее в условии задачи неравенство эквивалентно неравенству $|CF| \leq |HG|$, про которое уже доказано, что оно необходимо и достаточно для нахождения точки $D$ с нужными нам свойствами.
В треугольнике $ABC$ величины углов при вершинах $A, B$ и $C$ равны соответственно $\alpha, \beta $ и $\gamma$. Докажите, что неравенство
$\sin \alpha \cdot \sin \beta \leq \sin^{2} \frac{\gamma}{2}$
является необходимым и достаточным условием для того, чтобы
на отрезке $AB$ нашлась точка $D$, такая, что величина $CD$ является средним геометрическим величин $AD$ и $BD$.
Решение:
Опишем около треугольника $ABC$ окружность и, взяв на отрезке $AB$ произвольную точку $D$, продолжим отрезок $CD$ до пересечения с окружностью в точке $E$ (рис.). Получим $|CD| \cdot |DE| = |AD| \cdot |DB|$. Отсюда видно, что $|CD|$ будет средним геометрическим $|AD|$ и $|DB|$ тогда и только тогда, когда $|CD| = |DE|$.
Значит, нахождение точки $D$ с искомыми свойствами эквивалентно нахождению на окружности такой точки $E$, что отрезок $CE$ точкой пересечения с отрезком $AB$ делится пополам. Но такую точку $E$ на окружности можно найти тогда и только тогда, когда $|CF| \leq |HG|$, где $CF$ — высота треугольника $ABC$, а $HG$ — высота сегмента $AHB$, образованного хордой $AB$ и стягивающей ее дугой, не содержащей точки $C$. Легко, однако, подсчитать, что если $r$ — радиус описанной окружности, то
$|CF| = 2r \sin \alpha \cdot \sin \beta$ а $|HG| = r-r \cos \gamma = 2r \sin^{2} \frac{\gamma}{2}$.
Отсюда видно, что фигурирующее в условии задачи неравенство эквивалентно неравенству $|CF| \leq |HG|$, про которое уже доказано, что оно необходимо и достаточно для нахождения точки $D$ с нужными нам свойствами.
