Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1057
2015-02-17 
Имеется три карточки, на каждой из которых написано
одно из целых чисел. Эти числа $p,q,r$ удовлетворяют условию $0 < p < q < r$.
Три игрока $A, B$ и $С$ играют в игру, один круг которой состоит в следующем: карточки перемешиваются и раздаются игрокам по одной; затем каждый игрок получает количество шариков, равное числу, написанному на полученной им карточке;
потом карточки собираются, а шарики остаются у игроков. Игра
продолжается $N$ кругов, $N \geq 2$. В конце игры у игрока $A$ накопилось 20 шариков, у $B - 10$ шариков, у $C-9$ шариков. Известно, что в последнем круге игрок $B$ получил $r$ шариков. Требуется установить, кто из игроков получил $q$ шариков в первом круге.
Решение:
За каждый круг игроки вместе получают $p+q+r$ шариков. Из условия следует, что $N(p+q+r) = 39$. Так как $p,q$ и $r$ - различные целые положительные числа, то $p+q+r \geq 6$. Поскольку, кроме того, $N \geq 2$, то их разложения числа 39 на множители заключаем, что $N=3$, а $p+q+r=13$. Игрок $B$, набрав в последнем круге $r$ шариков, не мог ни в одном из первых двух кругов получить $r$ или $q$ шариков, так как иначе он в сумме набрал бы не менее 13 шариков, что противоречило бы условию. Поэтому он и в первом и во втором круге получил по $p$ шариков. Игрок $C$ не мог в первом круге получить $r$, так как иначе, получив во втором круге не меньше, чем $q$, а в третьем по крайней мере $p$, он в сумме получил бы не менее 13 шариков, тогда как по условию он получил лишь 9. Итак, игрок $C$ мог получить в первом круге лишь $q$. Предоставим читателю провести дальнейшие несложные рассуждения, которые позволят найти точные значения для $p, q$ и $r$ и полностью восстановить ход игры. Тем самым будет доказано, что удовлетворяющая всем условиям задачи игра действительно может быть реализована и при этом $q$ шариков в первом круге получает игрок $C$.
Имеется три карточки, на каждой из которых написано
одно из целых чисел. Эти числа $p,q,r$ удовлетворяют условию $0 < p < q < r$.
Три игрока $A, B$ и $С$ играют в игру, один круг которой состоит в следующем: карточки перемешиваются и раздаются игрокам по одной; затем каждый игрок получает количество шариков, равное числу, написанному на полученной им карточке;
потом карточки собираются, а шарики остаются у игроков. Игра
продолжается $N$ кругов, $N \geq 2$. В конце игры у игрока $A$ накопилось 20 шариков, у $B - 10$ шариков, у $C-9$ шариков. Известно, что в последнем круге игрок $B$ получил $r$ шариков. Требуется установить, кто из игроков получил $q$ шариков в первом круге.
Решение:
За каждый круг игроки вместе получают $p+q+r$ шариков. Из условия следует, что $N(p+q+r) = 39$. Так как $p,q$ и $r$ - различные целые положительные числа, то $p+q+r \geq 6$. Поскольку, кроме того, $N \geq 2$, то их разложения числа 39 на множители заключаем, что $N=3$, а $p+q+r=13$. Игрок $B$, набрав в последнем круге $r$ шариков, не мог ни в одном из первых двух кругов получить $r$ или $q$ шариков, так как иначе он в сумме набрал бы не менее 13 шариков, что противоречило бы условию. Поэтому он и в первом и во втором круге получил по $p$ шариков. Игрок $C$ не мог в первом круге получить $r$, так как иначе, получив во втором круге не меньше, чем $q$, а в третьем по крайней мере $p$, он в сумме получил бы не менее 13 шариков, тогда как по условию он получил лишь 9. Итак, игрок $C$ мог получить в первом круге лишь $q$. Предоставим читателю провести дальнейшие несложные рассуждения, которые позволят найти точные значения для $p, q$ и $r$ и полностью восстановить ход игры. Тем самым будет доказано, что удовлетворяющая всем условиям задачи игра действительно может быть реализована и при этом $q$ шариков в первом круге получает игрок $C$.
