Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1056
2015-02-17 
Пусть $a_{1}, \cdots, a_{n}$ — данные $n$ положительных чисел и $q$ — данное действительное число, причем $0 < q < 1$. Найдите такие $n$ действительных чисел $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$, что
а) $a_{k} < b_{k}$ при всех $k$ от 1 до $n$;
б) $q < \frac{b_{k+1}}{b_{k}}$ при всех $k$ от 1 до $n-1$;
в) $b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n} < \frac{1+q}{1-q} (a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})$.
Решение:
Смысл задачи состоит в том, чтобы путем некоторого увеличения каждого числа $a_{k}$ устранить резкие различия в величине соседних членов. Ясно, что числа $b_{k}$ не однозначно определяются числами $a_{k}$.
Некоторые способы решения состоят в нахождении алгоритма последовательного увеличения чисел $a_{k}$, так что в конце концов получаются искомые числа $b_{k}$. Рассмотрим два решения задачи.
Решение 1. Наиболее краткое решение получается, если догадаться, что в качестве искомых чисел $b_{k}$ можно взять выражения
$b_{k} = a_{1}q^{k-1} + a_{2}q^{k-2} + \cdots + a_{k-1}q + a_{k+1}q + \cdots + a_{n}q^{n-k}$.
Проверим выполнение условий а), б), в).
Условие а) очевидно.
Если $1 \leq k \leq n-1$, то $qb_{k} – b_{k+1} = a_{k+1}(q^{2}-1) + \cdots + a_{n}q^{n-k-1} \times (q{^2} - 1) < 0$ и аналогично $qb_{k+1}-b_{k} < 0$, откуда следует выполнение условия б). Наконец, $b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n} = a_{1} + a_{2}q + a_{3}q^{2} + \cdots + a_{n}q^{n-1} + a_{1}q + a_{2} + a_{3}q + \cdots + a_{2}q^{n-2}+ \cdots \cdots a_{1}q^{n-1} + a_{2}q^{n-2} + a_{3}q^{k-3} + \cdots a_{n} < (a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}) \times (1 + 2q + 2q^{3} + \cdots + 2q^{n-1}) \leq (a_{1} + \cdots + a_{n}) \frac{1+q}{1-q}$,
т. е. выполнено условие в).
Решение 2. Это решение длиннее первого, но представляется нам более естественным. Построим сначала $n$ действительных чисел $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$, для которых выполняются те же условия а), б), в), но с заменой в условиях а) и б) строгих неравенств нестрогими, а именно добьемся, чтобы
а’) $a_{k} \leq c_{k}$ при всех $k$ от 1 до $n$;
б’) $q \leq \frac{c_{k+1}}{c_{k}} \leq \frac{1}{q}$ при всех $k$ от 1 до $n-1$;
в’) $c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{n} < \frac{1+q}{1-q} (a_{1} + a_{2} + \cdots a_{n})$.
Для каждого числа $a_{i} (1 \leq I \leq n)$ рассмотрим числа $\phi_{i}(k) = a_{i}q^{|i-k|}, 1 \leq k \leq n$, которые можно истолковать как значения ординат в целочисленных точках некоторой функции $\phi_{i}(x)$, продолженной линейно в промежутках между целочисленными точками.
Таким образом, графиком функции $\phi_{i}(x)$ является ломаная, причем $\phi_{i}(x)$ возрастает при $1 \leq x < i$ и убывает при $i < x \leq n$. В точке $x=i$ она достигает максимума, равного $\phi_{i}(i)=a_{i}$.
Отметим следующее свойство функции $\phi_{i}(x)$: если на интервале $(l,l+1)$, где $l$ целое, какие-то две функции $\phi_{i_{1}}(x)$ и $\phi_{i_{2}}(x)$ изменяются одинаково (обе возрастают или обе убывают), то на этом интервале графики этих функций либо не пересекаются, либо совпадают тождественно.
В самом деле, пусть, например, обе функции возрастают.
Тогда из определения функций $\phi_{i}(x)$ следует, что $\phi_{i_{1}}(l) = q \phi_{i_{1}}(l+1)$ и $\phi_{i_{2}}(l) = q \phi_{i_{2}}(l+1)$. Отсюда ясно, что если числа $\phi_{i_{1}}(l+1)$ и $\phi_{i_{2}}(l+1)$ связаны знаком >, = или <, то тем же знаком связаны числа $\phi_{i_{1}}(l)$ и $\phi_{i_{2}}(l)$, а тем самым и значения функций $\phi_{i_{1}}(l), \phi_{i_{2}}(l)$ для любого $x, l \leq x \leq l+1$.
Аналогично рассматривается случай, когда обе функции убывают на интервале $(l,l+1)$, т. е. сформулированное свойство всегда имеет место.
Положим теперь, что $c_{k} = max_{1 \leq i \leq n}$, и проверим для $c_{k}$ выполнение условий а’), б’), в’).
Условие а’) очевидно, так как $c_{k} = max_{1 \leq i \leq n} \phi_{i}(k) \geq \phi_{k}(k) = a_{k}$.
Проверим выполнение условия б’). Рассмотрим $c_{l}$ и $c_{l+1}$. Из определения $c_{k}$ следует, что $c_{l} = \phi_{i_{1}}(l), c_{l+1} = \phi_{i_{1}}(l+1)$. Если $i_{1}=i_{2}$ то в зависимости от того, возрастает или убывает функция $\phi_{i}(x)$ на интервале $(l,l+1)$, мы получаем
$\frac{c_{l+1}}{c_{l}} = \frac{1}{q}$ или $\frac{c_{l+1}}{c_{l}} = q$,
и тогда б’) выполняется.
Если же $i_{1} \neq i_{2}$, то на интервале $(l,l+1)$ графики функций $\phi_{i_{1}}(x)$ и $\phi_{i_{2}}(x)$ пересекаются, а тогда по отмеченному выше свойству одна из них возрастает, а другая убывает. Но $\phi_{i_{1}}(l) = max_{1 \leq i \leq n} \phi_{i}(l) > \phi_{i_{2}}(l)$ И $\phi_{i_{2}}(l+1) = max_{1 \leq i \leq n} \phi_{i}(l+1)> \phi_{i_{1}}(l+1)$. Значит, функция $\phi_{i_{1}}(x)$ убывает, а $\phi_{i_{2}}(x)$ возрастает при $l \leq x \leq l+1$.
Таким образом,
$q = \frac{\phi_{i_{1}}(l+1)}{ \phi_{i_{1}}(l)} < \frac{\phi_{i_{2}}(l)}{\phi_{i_{1}}(l)} = \frac{c_{l+1}}{c_{l}} < \frac{\phi_{i_{2}}(l+1)}{ \phi_{i_{2}}(l)} = \frac{1}{q}$,
т. е. б’) выполнено.
Для проверки условия в’) заметим, что $c_{k} < \phi_{1}(k) + \phi_{2}(k) + \cdots + \phi_{n}(k) = a_{1}q^{k-1} + a_{2}q^{k-2} + \cdots + a_{k-1}q + a_{k} + a_{k+1}q + \cdots + a_{n}q^{n-k}$, и поэтому сумма $c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{n}$ оценивается, как и сумма в первом способе решения.
Итак, выполнение условий а’), б’), в’) проверено.
Осуществим теперь переход от чисел $c_{1},c_{2}, \cdots , c_{n}$ к искомым числам $ b_{1},b_{2}, \cdots , b_{n}$. В силу в’) можем записать:
$\frac{1+q}{1-q} (a_{1}+a_{2}+ \cdots +a_{n}) – (c_{1}+c_{2}+ \cdots + c_{n}) = d > 0$.
Положим, $b_{k} = c_{k} + \frac{d}{2n}, 1 \leq k \leq n$. Тогда условие а) очевидно. Свойство в) выполняется, так как
$b_{1}+b_{2}+ \cdots + b_{n} = c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{n} + \frac{d}{2} < \frac{1+q}{1-q} )(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})$.
Выполнение условия б), т. е. справедливость неравенств
$q < \frac{c_{l+1}+\frac{d}{2n}}{c_{l}+\frac{d}{2n}} < \frac{1}{q}$,
можно вывести из неравенств #q \leq \frac{c_{l+1}}{c_{l}} \leq \frac{1}{q} (0 < q < l) #, рассматривая отдельно случаи $c_{l+1} > c_{l}$ и $c_{l+1} < c_{l}$.
Пусть $a_{1}, \cdots, a_{n}$ — данные $n$ положительных чисел и $q$ — данное действительное число, причем $0 < q < 1$. Найдите такие $n$ действительных чисел $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$, что
а) $a_{k} < b_{k}$ при всех $k$ от 1 до $n$;
б) $q < \frac{b_{k+1}}{b_{k}}$ при всех $k$ от 1 до $n-1$;
в) $b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n} < \frac{1+q}{1-q} (a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})$.
Решение:
Смысл задачи состоит в том, чтобы путем некоторого увеличения каждого числа $a_{k}$ устранить резкие различия в величине соседних членов. Ясно, что числа $b_{k}$ не однозначно определяются числами $a_{k}$.
Некоторые способы решения состоят в нахождении алгоритма последовательного увеличения чисел $a_{k}$, так что в конце концов получаются искомые числа $b_{k}$. Рассмотрим два решения задачи.
Решение 1. Наиболее краткое решение получается, если догадаться, что в качестве искомых чисел $b_{k}$ можно взять выражения
$b_{k} = a_{1}q^{k-1} + a_{2}q^{k-2} + \cdots + a_{k-1}q + a_{k+1}q + \cdots + a_{n}q^{n-k}$.
Проверим выполнение условий а), б), в).
Условие а) очевидно.
Если $1 \leq k \leq n-1$, то $qb_{k} – b_{k+1} = a_{k+1}(q^{2}-1) + \cdots + a_{n}q^{n-k-1} \times (q{^2} - 1) < 0$ и аналогично $qb_{k+1}-b_{k} < 0$, откуда следует выполнение условия б). Наконец, $b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n} = a_{1} + a_{2}q + a_{3}q^{2} + \cdots + a_{n}q^{n-1} + a_{1}q + a_{2} + a_{3}q + \cdots + a_{2}q^{n-2}+ \cdots \cdots a_{1}q^{n-1} + a_{2}q^{n-2} + a_{3}q^{k-3} + \cdots a_{n} < (a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}) \times (1 + 2q + 2q^{3} + \cdots + 2q^{n-1}) \leq (a_{1} + \cdots + a_{n}) \frac{1+q}{1-q}$,
т. е. выполнено условие в).
Решение 2. Это решение длиннее первого, но представляется нам более естественным. Построим сначала $n$ действительных чисел $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$, для которых выполняются те же условия а), б), в), но с заменой в условиях а) и б) строгих неравенств нестрогими, а именно добьемся, чтобы
а’) $a_{k} \leq c_{k}$ при всех $k$ от 1 до $n$;
б’) $q \leq \frac{c_{k+1}}{c_{k}} \leq \frac{1}{q}$ при всех $k$ от 1 до $n-1$;
в’) $c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{n} < \frac{1+q}{1-q} (a_{1} + a_{2} + \cdots a_{n})$.
Для каждого числа $a_{i} (1 \leq I \leq n)$ рассмотрим числа $\phi_{i}(k) = a_{i}q^{|i-k|}, 1 \leq k \leq n$, которые можно истолковать как значения ординат в целочисленных точках некоторой функции $\phi_{i}(x)$, продолженной линейно в промежутках между целочисленными точками.
Таким образом, графиком функции $\phi_{i}(x)$ является ломаная, причем $\phi_{i}(x)$ возрастает при $1 \leq x < i$ и убывает при $i < x \leq n$. В точке $x=i$ она достигает максимума, равного $\phi_{i}(i)=a_{i}$.
Отметим следующее свойство функции $\phi_{i}(x)$: если на интервале $(l,l+1)$, где $l$ целое, какие-то две функции $\phi_{i_{1}}(x)$ и $\phi_{i_{2}}(x)$ изменяются одинаково (обе возрастают или обе убывают), то на этом интервале графики этих функций либо не пересекаются, либо совпадают тождественно.
В самом деле, пусть, например, обе функции возрастают.
Тогда из определения функций $\phi_{i}(x)$ следует, что $\phi_{i_{1}}(l) = q \phi_{i_{1}}(l+1)$ и $\phi_{i_{2}}(l) = q \phi_{i_{2}}(l+1)$. Отсюда ясно, что если числа $\phi_{i_{1}}(l+1)$ и $\phi_{i_{2}}(l+1)$ связаны знаком >, = или <, то тем же знаком связаны числа $\phi_{i_{1}}(l)$ и $\phi_{i_{2}}(l)$, а тем самым и значения функций $\phi_{i_{1}}(l), \phi_{i_{2}}(l)$ для любого $x, l \leq x \leq l+1$.
Аналогично рассматривается случай, когда обе функции убывают на интервале $(l,l+1)$, т. е. сформулированное свойство всегда имеет место.
Положим теперь, что $c_{k} = max_{1 \leq i \leq n}$, и проверим для $c_{k}$ выполнение условий а’), б’), в’).
Условие а’) очевидно, так как $c_{k} = max_{1 \leq i \leq n} \phi_{i}(k) \geq \phi_{k}(k) = a_{k}$.
Проверим выполнение условия б’). Рассмотрим $c_{l}$ и $c_{l+1}$. Из определения $c_{k}$ следует, что $c_{l} = \phi_{i_{1}}(l), c_{l+1} = \phi_{i_{1}}(l+1)$. Если $i_{1}=i_{2}$ то в зависимости от того, возрастает или убывает функция $\phi_{i}(x)$ на интервале $(l,l+1)$, мы получаем
$\frac{c_{l+1}}{c_{l}} = \frac{1}{q}$ или $\frac{c_{l+1}}{c_{l}} = q$,
и тогда б’) выполняется.
Если же $i_{1} \neq i_{2}$, то на интервале $(l,l+1)$ графики функций $\phi_{i_{1}}(x)$ и $\phi_{i_{2}}(x)$ пересекаются, а тогда по отмеченному выше свойству одна из них возрастает, а другая убывает. Но $\phi_{i_{1}}(l) = max_{1 \leq i \leq n} \phi_{i}(l) > \phi_{i_{2}}(l)$ И $\phi_{i_{2}}(l+1) = max_{1 \leq i \leq n} \phi_{i}(l+1)> \phi_{i_{1}}(l+1)$. Значит, функция $\phi_{i_{1}}(x)$ убывает, а $\phi_{i_{2}}(x)$ возрастает при $l \leq x \leq l+1$.
Таким образом,
$q = \frac{\phi_{i_{1}}(l+1)}{ \phi_{i_{1}}(l)} < \frac{\phi_{i_{2}}(l)}{\phi_{i_{1}}(l)} = \frac{c_{l+1}}{c_{l}} < \frac{\phi_{i_{2}}(l+1)}{ \phi_{i_{2}}(l)} = \frac{1}{q}$,
т. е. б’) выполнено.
Для проверки условия в’) заметим, что $c_{k} < \phi_{1}(k) + \phi_{2}(k) + \cdots + \phi_{n}(k) = a_{1}q^{k-1} + a_{2}q^{k-2} + \cdots + a_{k-1}q + a_{k} + a_{k+1}q + \cdots + a_{n}q^{n-k}$, и поэтому сумма $c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{n}$ оценивается, как и сумма в первом способе решения.
Итак, выполнение условий а’), б’), в’) проверено.
Осуществим теперь переход от чисел $c_{1},c_{2}, \cdots , c_{n}$ к искомым числам $ b_{1},b_{2}, \cdots , b_{n}$. В силу в’) можем записать:
$\frac{1+q}{1-q} (a_{1}+a_{2}+ \cdots +a_{n}) – (c_{1}+c_{2}+ \cdots + c_{n}) = d > 0$.
Положим, $b_{k} = c_{k} + \frac{d}{2n}, 1 \leq k \leq n$. Тогда условие а) очевидно. Свойство в) выполняется, так как
$b_{1}+b_{2}+ \cdots + b_{n} = c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{n} + \frac{d}{2} < \frac{1+q}{1-q} )(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})$.
Выполнение условия б), т. е. справедливость неравенств
$q < \frac{c_{l+1}+\frac{d}{2n}}{c_{l}+\frac{d}{2n}} < \frac{1}{q}$,
можно вывести из неравенств #q \leq \frac{c_{l+1}}{c_{l}} \leq \frac{1}{q} (0 < q < l) #, рассматривая отдельно случаи $c_{l+1} > c_{l}$ и $c_{l+1} < c_{l}$.
